Trovar posto a un 2.

[Quelo]

Ho dato per buono che con inserire si intendesse una posizione intermedia, quindi quelli con il 7 in testa è coda non li ho proprio cercati

[Bruno]

Ma certo, Sergio, è una variante questa

[Quelo]

Per il primo caso entro le 1000 cifre ce ne è 1:
7111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Per il secondo caso possiamo dire che:
1. $\displaystyle x=\frac{10^n-1}{9}+6 \simeq \frac{10^n}{9}$ per n grande, quindi il quoziente di $\displaystyle \frac{x}{4321}$ è circa $\displaystyle 10^n\frac{1}{9*4321}$
2. il quoziente termina per 7

1/38889=0.0000257142122... ha un periodo di 1036 cifre che contiene 106 volte il numero 7, es:
257
25714212245107
2571421224510787
25714212245107871120368227
257142122451078711203682275193499447
2571421224510787112036822751934994471444367
2571421224510787112036822751934994471444367301807
25714212245107871120368227519349944714443673018077
...

Proviamo a moltiplicare tutti questi numeri per 4321, ognuno risultato è composto da tutti 1 per le prim n-5 cifre, ma nessuno di questi termina per 11117
Andando avanti la sequenza si ripete e così anche le cifre terminali

[Pasquale]

Eh, il fatto è che nella sua semplicità il problema richiede tempo e soltanto l'esplorazione completa potrebbe dare la medaglia al miglior divisore.
Le sorprese non sono rare.
Ad esempio, il 4093 testato fino a 500 numeri 1, se testato per tutti i 1000, produce ben 2025 risultati validi. che aumenterebbero aggiungendo il 7 all'inizio.
Comunque, direi che non vale la pena di andare oltre, salvo il quesito di Bruno sul 7 finale.

[Bruno]

Bene, Sergio, molto bene.

Mi sono fatto la domanda sulle posizioni estreme di 7 e così ho scoperto che, se il 7 è in coda, non ci sono multipli di 4321.
Per stabilire questo ho applicato QSC (Qualche Semplice Congruenza) e scomposto 4321 in 29 e 149.
In $\frac{10 \cdot (10^n-1)}{9}+\small 7$ non è difficile riconoscere (con QSC) che $\small n$ deve avere la forma $\small 28\cdot h+17$ affinché quell'espressione sia divisibile per 29; mentre essa è divisibile per 149 se $\small n$ ha la forma $\small 148\cdot k+107$. Ora, però, 107-17 = 90 non è divisibile per 4 (che invece divide 28 e 148), quindi $\small n$ non può avere entrambe le forme indicate.

Comunque, direi che non vale la pena di andare oltre ...

Perché no?

[Pasquale]

Perché ho lavorato col Decimal Basic, tanto per il gusto di metter su qualche routine, ma con tempi di attesa troppo lunghi per ognuno dei divisori fra 1000 e 9999, trovando ogni tanto qualche divisore migliore dei precedenti. Ho realizzato che il p.c. sarebbe andato in fumo.

[Quelo]

@Bruno Ero sicuro che ci fosse una dimostrazione più elegante della mia

@Pasquale Con 4093 sono arrivato fino a 850 cifre, ma mi sono reso conto che già a 200 cifre si delineano i candidati alla vittoria finale, così che si può proseguire testando solo quelli.
Su questo assunto ho cercato i campioni per tutte le altre cifre oltre al 7 che possiamo inserire (da 2 a 9), questo è il risultato:

Codice: Seleziona tutto

cifra	divis.	quantità
2	1111	1225

3	5799	1128
3	1933	1128
3	1409	1024

4	4187	2926
4	1233	1722

5	1241	1953
5	2329	1953
5	1233	1750

6	1241	1953
6	2223	1540

7	4093	2025
7	1673	1452
7	2151	1112

8	3133	1156
8	1209	1122
8	1409	992

9	1183	2145
9	8779	2070
9	2457	1577

[Bruno]

Sergio, mi fa molto piacere che tu stia dando linfa al quesito di Pasquale

[Quelo]

Estensione del quesito:

Esiste un numero formato da sole cifre 1 più una cifra diversa da 1 che sia divisibile per 2431?

[Bruno]

Esiste un numero formato da sole cifre 1 più una cifra diversa da 1 che sia divisibile per 2431?

1111111111110111111 = 2431·457059280588281, ...
1111111112111 = 2431·457059281, ...

[Quelo]

Ottimo Bruno.

Possiamo anche fare alcune considerazioni, ad esempio che nessun numero con le cifre da 3 a 9 può essere multiplo d 2431 e che con le cifre 0 e 2 il numero deve avere cifre dispari, con lo 0 in posizione dispari o il 2 in posizione pari

[Bruno]

Certo.

A margine, per lo stesso numero di 1, ci possono essere più soluzioni. Per esempio:

1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111110111111,
1111111111110111111111111111111111111111111111111111111111111111111;

1111111111111111111111111111111111111111111111111111111112111,
1111111112111111111111111111111111111111111111111111111111111;

etc.

[Pasquale]

Ragazzi, siete forti e volenterosi.
E' proprio per questo che chiedo se e per quante volte sia possibile dividere per 2341 le 1000 sequenze di 1 , inserendo questa volta il numero ......... 2341

[Quelo]

E' quantomeno bizzarro che siano esattamente 234