Questo mi è piaciuto.
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Re: Questo mi è piaciuto.
Che meraviglia
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
Re: Questo mi è piaciuto.
Premetto che la soluzione di Panurgo è qualcosa di affascinante e per me inarrivabile, però vi propongo qualcosa di più spartano e pazialmente empirico
Tralasciando i casi noti con x=1 e x=2, perché $3^x-1$ sia potenza di 2 deve essere divisbile per 4 e non deve avere divisori diversi da 2
Le poenze di 3 terminano con 3, 9, 7, 1, quindi $3^x-1$ termina con 2, 8, 6, 0
Finale 0 è multiplo di 5 e non può essere potenza di 2
Passiamo alla penultima cifra
Le ultime 2 cifre di $3^x-1$ hanno una sequenza ciclica con 21 elementi, tutti pari, di cui solo quelli che terminano per 8 e 0 (già escluso) sono multipli di 4
Quindi possiamo scrivere $3^{4n-2}-1 \equiv 0 \pmod{4}$ e $3^{4n-2}-1 \not\equiv 0 \pmod{5}$
Tutte le potenze di 3 dalla seconda in poi hanno radice nuemrica 9, per cui i numeri nella forma $3^x-1$ hanno radice numerica 8
Le potenze di 2 hanno radice numerica ciclica di 1, 2, 4, 8, 7, 5
Ci interssano solo quelle con radice numerica 8, cioè $2^{6m-3}$
Queste potenze terminano con 2 o con 8, ma come abbiamo visto $3^{4n-2}-1$ termina per 8, per cui restringiamo il campo a $2^{12m-9}$
Dobbiamo dimostrare che $3^{4n-2}-1 \ne 2^{12m-9}$
Qui viene la parte che non ha una dimostrazione elegante:
I numeri formati dalle ultime 4 cifre di $3^{4n-2}-1$ divisi per 8 sono dispari e terminano con 1
I numeri formati dalle ultime 4 cifre di $2^{12m-9}$ divisi per 8 sono pari e terminano con 6
Di conseguenza non esistono altri valori di x e y tali per cui $3^x=2^y+1$
Aggiugno che sia per $3^{4n-2}-1$ che per $2^{12m-9}$ le ultime 4 cifre si ripetono ogni 125, per cui anche a testarle tutte ci vuole un attimo
SE&O
Tralasciando i casi noti con x=1 e x=2, perché $3^x-1$ sia potenza di 2 deve essere divisbile per 4 e non deve avere divisori diversi da 2
Le poenze di 3 terminano con 3, 9, 7, 1, quindi $3^x-1$ termina con 2, 8, 6, 0
Finale 0 è multiplo di 5 e non può essere potenza di 2
Passiamo alla penultima cifra
Le ultime 2 cifre di $3^x-1$ hanno una sequenza ciclica con 21 elementi, tutti pari, di cui solo quelli che terminano per 8 e 0 (già escluso) sono multipli di 4
Quindi possiamo scrivere $3^{4n-2}-1 \equiv 0 \pmod{4}$ e $3^{4n-2}-1 \not\equiv 0 \pmod{5}$
Tutte le potenze di 3 dalla seconda in poi hanno radice nuemrica 9, per cui i numeri nella forma $3^x-1$ hanno radice numerica 8
Le potenze di 2 hanno radice numerica ciclica di 1, 2, 4, 8, 7, 5
Ci interssano solo quelle con radice numerica 8, cioè $2^{6m-3}$
Queste potenze terminano con 2 o con 8, ma come abbiamo visto $3^{4n-2}-1$ termina per 8, per cui restringiamo il campo a $2^{12m-9}$
Dobbiamo dimostrare che $3^{4n-2}-1 \ne 2^{12m-9}$
Qui viene la parte che non ha una dimostrazione elegante:
I numeri formati dalle ultime 4 cifre di $3^{4n-2}-1$ divisi per 8 sono dispari e terminano con 1
I numeri formati dalle ultime 4 cifre di $2^{12m-9}$ divisi per 8 sono pari e terminano con 6
Di conseguenza non esistono altri valori di x e y tali per cui $3^x=2^y+1$
Aggiugno che sia per $3^{4n-2}-1$ che per $2^{12m-9}$ le ultime 4 cifre si ripetono ogni 125, per cui anche a testarle tutte ci vuole un attimo
Codice: Seleziona tutto
n U4c U4c/8 m U4c U4c/8
1 8 1 1 8 1
2 728 91 2 2768 346
3 9048 1131 3 7728 966
4 2968 371 4 3888 486
5 0488 61 5 5248 656
6 9608 1201 6 5808 726
7 8328 1041 7 9568 1196
8 4648 581 8 0528 66
9 6568 821 9 2688 336
10 2088 261 10 0048 6
11 9208 1151 11 6608 826
12 5928 741 12 6368 796
13 0248 31 13 3328 416
14 0168 21 14 1488 186
15 3688 461 15 4848 606
16 8808 1101 16 7408 926
17 3528 441 17 3168 396
18 5848 731 18 6128 766
19 3768 471 19 0288 36
20 5288 661 20 9648 1206
21 8408 1051 21 8208 1026
22 1128 141 22 9968 1246
23 1448 181 23 8928 1116
24 7368 921 24 9088 1136
25 6888 861 25 4448 556
26 8008 1001 26 9008 1126
27 8728 1091 27 6768 846
28 7048 881 28 1728 216
29 0968 121 29 7888 986
30 8488 1061 30 9248 1156
31 7608 951 31 9808 1226
32 6328 791 32 3568 446
33 2648 331 33 4528 566
34 4568 571 34 6688 836
35 0088 11 35 4048 506
36 7208 901 36 0608 76
37 3928 491 37 0368 46
38 8248 1031 38 7328 916
39 8168 1021 39 5488 686
40 1688 211 40 8848 1106
41 6808 851 41 1408 176
42 1528 191 42 7168 896
43 3848 481 43 0128 16
44 1768 221 44 4288 536
45 3288 411 45 3648 456
46 6408 801 46 2208 276
47 9128 1141 47 3968 496
48 9448 1181 48 2928 366
49 5368 671 49 3088 386
50 4888 611 50 8448 1056
51 6008 751 51 3008 376
52 6728 841 52 0768 96
53 5048 631 53 5728 716
54 8968 1121 54 1888 236
55 6488 811 55 3248 406
56 5608 701 56 3808 476
57 4328 541 57 7568 946
58 0648 81 58 8528 1066
59 2568 321 59 0688 86
60 8088 1011 60 8048 1006
61 5208 651 61 4608 576
62 1928 241 62 4368 546
63 6248 781 63 1328 166
64 6168 771 64 9488 1186
65 9688 1211 65 2848 356
66 4808 601 66 5408 676
67 9528 1191 67 1168 146
68 1848 231 68 4128 516
69 9768 1221 69 8288 1036
70 1288 161 70 7648 956
71 4408 551 71 6208 776
72 7128 891 72 7968 996
73 7448 931 73 6928 866
74 3368 421 74 7088 886
75 2888 361 75 2448 306
76 4008 501 76 7008 876
77 4728 591 77 4768 596
78 3048 381 78 9728 1216
79 6968 871 79 5888 736
80 4488 561 80 7248 906
81 3608 451 81 7808 976
82 2328 291 82 1568 196
83 8648 1081 83 2528 316
84 0568 71 84 4688 586
85 6088 761 85 2048 256
86 3208 401 86 8608 1076
87 9928 1241 87 8368 1046
88 4248 531 88 5328 666
89 4168 521 89 3488 436
90 7688 961 90 6848 856
91 2808 351 91 9408 1176
92 7528 941 92 5168 646
93 9848 1231 93 8128 1016
94 7768 971 94 2288 286
95 9288 1161 95 1648 206
96 2408 301 96 0208 26
97 5128 641 97 1968 246
98 5448 681 98 0928 116
99 1368 171 99 1088 136
100 0888 111 100 6448 806
101 2008 251 101 1008 126
102 2728 341 102 8768 1096
103 1048 131 103 3728 466
104 4968 621 104 9888 1236
105 2488 311 105 1248 156
106 1608 201 106 1808 226
107 0328 41 107 5568 696
108 6648 831 108 6528 816
109 8568 1071 109 8688 1086
110 4088 511 110 6048 756
111 1208 151 111 2608 326
112 7928 991 112 2368 296
113 2248 281 113 9328 1166
114 2168 271 114 7488 936
115 5688 711 115 0848 106
116 0808 101 116 3408 426
117 5528 691 117 9168 1146
118 7848 981 118 2128 266
119 5768 721 119 6288 786
120 7288 911 120 5648 706
121 0408 51 121 4208 526
122 3128 391 122 5968 746
123 3448 431 123 4928 616
124 9368 1171 124 5088 636
125 8888 1111 125 0448 56
126 0008 1 126 5008 626
127 0728 91 127 2768 346
128 9048 1131 128 7728 966
129 2968 371 129 3888 486
130 0488 61 130 5248 656
131 9608 1201 131 5808 726
132 8328 1041 132 9568 1196
133 4648 581 133 0528 66
134 6568 821 134 2688 336
135 2088 261 135 0048 6
136 9208 1151 136 6608 826
137 5928 741 137 6368 796
138 0248 31 138 3328 416
139 0168 21 139 1488 186
140 3688 461 140 4848 606
141 8808 1101 141 7408 926
142 3528 441 142 3168 396
143 5848 731 143 6128 766
144 3768 471 144 0288 36
145 5288 661 145 9648 1206
146 8408 1051 146 8208 1026
147 1128 141 147 9968 1246
148 1448 181 148 8928 1116
149 7368 921 149 9088 1136
150 6888 861 150 4448 556
151 8008 1001 151 9008 1126
152 8728 1091 152 6768 846
153 7048 881 153 1728 216
154 0968 121 154 7888 986
155 8488 1061 155 9248 1156
156 7608 951 156 9808 1226
157 6328 791 157 3568 446
158 2648 331 158 4528 566
159 4568 571 159 6688 836
160 0088 11 160 4048 506
161 7208 901 161 0608 76
162 3928 491 162 0368 46
163 8248 1031 163 7328 916
164 8168 1021 164 5488 686
165 1688 211 165 8848 1106
166 6808 851 166 1408 176
167 1528 191 167 7168 896
168 3848 481 168 0128 16
169 1768 221 169 4288 536
170 3288 411 170 3648 456
171 6408 801 171 2208 276
172 9128 1141 172 3968 496
173 9448 1181 173 2928 366
174 5368 671 174 3088 386
175 4888 611 175 8448 1056
176 6008 751 176 3008 376
177 6728 841 177 0768 96
178 5048 631 178 5728 716
179 8968 1121 179 1888 236
180 6488 811 180 3248 406
181 5608 701 181 3808 476
182 4328 541 182 7568 946
183 0648 81 183 8528 1066
184 2568 321 184 0688 86
185 8088 1011 185 8048 1006
186 5208 651 186 4608 576
187 1928 241 187 4368 546
188 6248 781 188 1328 166
189 6168 771 189 9488 1186
190 9688 1211 190 2848 356
191 4808 601 191 5408 676
192 9528 1191 192 1168 146
193 1848 231 193 4128 516
194 9768 1221 194 8288 1036
195 1288 161 195 7648 956
196 4408 551 196 6208 776
197 7128 891 197 7968 996
198 7448 931 198 6928 866
199 3368 421 199 7088 886
200 2888 361 200 2448 306
201 4008 501 201 7008 876
202 4728 591 202 4768 596
203 3048 381 203 9728 1216
204 6968 871 204 5888 736
205 4488 561 205 7248 906
206 3608 451 206 7808 976
207 2328 291 207 1568 196
208 8648 1081 208 2528 316
209 0568 71 209 4688 586
210 6088 761 210 2048 256
211 3208 401 211 8608 1076
212 9928 1241 212 8368 1046
213 4248 531 213 5328 666
214 4168 521 214 3488 436
215 7688 961 215 6848 856
216 2808 351 216 9408 1176
217 7528 941 217 5168 646
218 9848 1231 218 8128 1016
219 7768 971 219 2288 286
220 9288 1161 220 1648 206
221 2408 301 221 0208 26
222 5128 641 222 1968 246
223 5448 681 223 0928 116
224 1368 171 224 1088 136
225 0888 111 225 6448 806
226 2008 251 226 1008 126
227 2728 341 227 8768 1096
228 1048 131 228 3728 466
229 4968 621 229 9888 1236
230 2488 311 230 1248 156
231 1608 201 231 1808 226
232 0328 41 232 5568 696
233 6648 831 233 6528 816
234 8568 1071 234 8688 1086
235 4088 511 235 6048 756
236 1208 151 236 2608 326
237 7928 991 237 2368 296
238 2248 281 238 9328 1166
239 2168 271 239 7488 936
240 5688 711 240 0848 106
241 0808 101 241 3408 426
242 5528 691 242 9168 1146
243 7848 981 243 2128 266
244 5768 721 244 6288 786
245 7288 911 245 5648 706
246 0408 51 246 4208 526
247 3128 391 247 5968 746
248 3448 431 248 4928 616
249 9368 1171 249 5088 636
250 8888 1111 250 0448 56
251 0008 1 251 5008 626
252 0728 91 252 2768 346
253 9048 1131 253 7728 966
254 2968 371 254 3888 486
255 0488 61 255 5248 656
256 9608 1201 256 5808 726
257 8328 1041 257 9568 1196
258 4648 581 258 0528 66
259 6568 821 259 2688 336
260 2088 261 260 0048 6
261 9208 1151 261 6608 826
262 5928 741 262 6368 796
263 0248 31 263 3328 416
264 0168 21 264 1488 186
265 3688 461 265 4848 606
266 8808 1101 266 7408 926
267 3528 441 267 3168 396
268 5848 731 268 6128 766
269 3768 471 269 0288 36
270 5288 661 270 9648 1206
271 8408 1051 271 8208 1026
272 1128 141 272 9968 1246
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274 7368 921 274 9088 1136
275 6888 861 275 4448 556
276 8008 1001 276 9008 1126
277 8728 1091 277 6768 846
278 7048 881 278 1728 216
279 0968 121 279 7888 986
[Sergio] / $17$
Re: Questo mi è piaciuto.
Sergio, grazie del tuo contributo 
Le eccellenti esplorazioni tua e di Guido raccontano qualcosa di molto più ampio della semplice richiesta del problema, quasi la oscurano.
Mentre a me è capitato di limitarmi a escludere l'esistenza di altre soluzioni considerando una differenza di potenze in modo minimalistico, voi avete invece illustrato i bellissimi paesaggi che abbracciano il problema in questione e li avete riempiti di colori
Fantastico.
Le eccellenti esplorazioni tua e di Guido raccontano qualcosa di molto più ampio della semplice richiesta del problema, quasi la oscurano.
Mentre a me è capitato di limitarmi a escludere l'esistenza di altre soluzioni considerando una differenza di potenze in modo minimalistico, voi avete invece illustrato i bellissimi paesaggi che abbracciano il problema in questione e li avete riempiti di colori
Fantastico.
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
Re: Questo mi è piaciuto.
Questo mi è piaciuto!Bruno ha scritto: ↑gio set 23, 2021 9:49 amSergio, grazie del tuo contributo
Le eccellenti esplorazioni tua e di Guido raccontano qualcosa di molto più ampio della semplice richiesta del problema, quasi la oscurano.
Mentre a me è capitato di limitarmi a escludere l'esistenza di altre soluzioni considerando una differenza di potenze in modo minimalistico, voi avete invece illustrato i bellissimi paesaggi che abbracciano il problema in questione e li avete riempiti di colori
Fantastico.
Grazie Bruno
[Sergio] / $17$