2 corde...3 pezzi

[panurgo]

come ulteriore chiarimento



in riferimento alla figura, il triangolo ${\text AA}^{\prime}{\text B}$ è simile al triangolo ${\text APE}$ essendo comune l’angolo ${\text BAA}^{\prime}$ e essendo entrambi retti gli angoli ${\text EPA}$ e ${\text ABA}^{\prime}$.

Quindi, posto $\overline {{\text AP}} = x$, $\overline {{\text AE}} = y$, $\overline {{\text AB}} = l$ e $\overline {{\text AA}^{\prime}} = d$, vale

$\frac{y}{x} = \frac{d}{l}$

D’altronde è

$\overline {{\text PE}} = z \\ z^2 = y^2 - x^2 = \left( {\frac{{d^2 }}{{l^2 }} - 1} \right)x^2$

C’è poi un interessante teorema che dice che, per due corde $\overline {\text AB}$ e $\overline {\text DG}$ secantisi in ${\text E}$, vale $\overline {\text AE} \times \overline {\text EB} = \overline {\text DE} \times \overline {\text EG}$.
Da ciò, imponendo $\overline {{\text DG}} = 6z$, cioè che la corda sia trisecata, otteniamo

$2z \times 4z = y\left( {l - y} \right)\quad \Leftrightarrow \quad 8\left( {\frac{{d^2 }}{{l^2 }} - 1} \right)x^2 = \frac{d}{l}x\left( {l - \frac{d}{l}x} \right)\quad \Leftrightarrow \quad \left( {\frac{{8d^2 - 8l^2 }}{{dl}} + \frac{d}{l}} \right)x = l\quad \Leftrightarrow \quad x = \frac{{dl^2 }}{{9d^2 - 8l^2 }}$

[Pasquale]

Si va bene, l'ora del co.... arriva per tutti: pensando e facendo disegni, m'ero dimenticato della condizione del testo che io stesso avevo scritto.
Bello il tuo lavoro da cui si deduce che una soluzione c'è sempre.

[Pasquale]

Prendendo spunto da quanto già detto da Panurgo e facendo riferimento alle varie considerazioni del topic ed alla sua stessa figura, che riporto in miniatura (clicca per ingrandire), aggiungo una variante:



$\overline {\text{AA}^\prime} = d;$ $\overline {\text{AP}} = x;$ $\overline {\text{PA}^\prime} = d-x;$ $\overline {\text{EP}} = y;$ $\overline {\text{DP}} = 3y;$ $\overline {\text{AB}} = l;$$\overline {\text{BA}^\prime} = \sqrt{d^2-l^2};$

Dalla similitudine fra i triangoli AEP ed AA'B e dal teorema di Euclide applicato al triangolo AA'D, otteniamo le seguenti due relazioni:

$y^2 = \frac{d^2-l^2}{l^2}x^2$

$y^2 = \frac {d-x}{9}x$

da cui, eguagliando membro a membro:

$x = \frac {dl^2}{9d^2 - 8l^2}$

[panurgo]

conciso e ottimo!

Avevo in mente quel grazioso teorema (per due corde $\overline {\text AB}$ e $\overline {\text DG}$ secantisi ${\text E}$ in , vale $\overline {\text AE} \times \overline {\text EB} = \overline {\text DE} \times \overline {\text EG}$), che ho trovato sul [finalmente] H.S.M. Coxeter - Introduction to geometry e non ho resistito alla tentazione di usare quello...

[Pasquale]

Si, si, mica volevo dire cose diverse, non cambia niente, anzi hai fatto bene, perché quello è un teorema poco conosciuto.

[Bruno]

...

L'altra sera ho letto le considerazioni di Enrico e mi hanno stimolato una
piccola riflessione sulla questione proposta.
Solo ora ho trovato il tempo di scriverla e quindi la invio.

Intanto, riproduco il disegno già visto sopra:



dove considero:

$\displaystyle \overline {\text {AA}^\prime} = d \\ \overline {\text AB} = \overline {\text AC} = l \\ \overline {\text AD} = \overline {\text AG}\, .$

Per il momento non m'interessa come $\displaystyle \, {\text \footnotesize \overline {AB}}\,$ e $\displaystyle \,{\text \footnotesize \overline {AC}}\,$ dividano $\displaystyle \,{\text \footnotesize \overline {DG}}$.

Con alcuni semplici ragionamenti, che non imbarazzeranno sicuramente i
basecinquini (ma non li riporto perché non è di questo che vorrei parlare),
ricavo la generalizzazione:

$\displaystyle \overline {\text AP} = \frac {d\cdot l^2\cdot r^2}{d^2+l^2\cdot(r^2-1)}$

dove:

$\displaystyle r = \frac {\overline {\text EF}}{\overline {\text DG}}$

Assumendo $\displaystyle {\text \footnotesize \overline {AD}} < {\text \footnotesize \overline {AB}}$, naturalmente è $\displaystyle r{\text \footnotesize <1}$.

Per $\displaystyle \, r = \frac 13\,$ si ottiene la relazione già stabilita da Panurgo e Pasquale:

$\displaystyle \overline {\text AP} = \frac {d\cdot l^2}{9\cdot d^2-8\cdot l^2} \,$.

Per $\displaystyle \, r = \frac 12\,$, la corda $\displaystyle \, {\text \footnotesize \overline {DG}} \,$ si può immaginare divisa in quattro parti uguali,
due delle quali comprese fra $\displaystyle \, {\text \footnotesize \overline {AB}}\,$ e $\displaystyle \,{\text \footnotesize \overline {AC}}\,$.
In questo caso si ottiene:

$\displaystyle \overline {\text AP} = \frac {d\cdot l^2}{4\cdot d^2-3\cdot l^2} \,$.


Ora guardo il triangolo $\displaystyle {\text \footnotesize ABC}$.
Nell'ipotesi che la sua altezza giacente su $\displaystyle \, {\overline {\text \footnotesize {AA}^\prime}}\,$ sia maggiore di $\displaystyle \, \frac {d}{2}$,
spostando il punto $\displaystyle \, {\text \footnotesize P}\,$ fino a farlo coincidere con il centro della circonferenza,
giungerei a un $\displaystyle \, r={\text \footnotesize \sqr{\left(\frac{d}{l}\right)^2-1}}$.
In un decagono regolare stellato, il rapporto fra il raggio del cerchio
inscritto e il raggio del cerchio circoscritto è:
$\displaystyle \frac{\sqr{10-2\cdot \sqr{5}}}{4}$
Se questo stesso rapporto corresse fra la metà del nostro $\displaystyle \, {\overline {\text \footnotesize {AA}^\prime}}\,$
e la lunghezza di ciascuna delle due corde del problema [*][/size], si
avrebbe $\displaystyle \, r={\text \footnotesize \frac {\sqr{5}-1}{2}$.

Vabbè... vedo che procedendo così si potrebbero trovare altre cose, forse
più interessanti. Mi limito a questo accenno.



(Bruno)




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[*] Dovendo essere $\displaystyle \, {\text \footnotesize \frac {d}{l}<\sqr{2}}\,$, per $\displaystyle \, r{\text \footnotesize <1}\,$, risulta pure $\displaystyle {\text \footnotesize \frac{\sqr{10-2\cdot \sqr{5}}}{2}<\sqr{2}}$.

[Pasquale]

Se non erro scappa fuori un rapporto aureo. Bruno sei grande!