Prodotto di n fattori, con n naturale

[infinito]

come io, anche tu ritieni opportuno che ci si accordi prima di intraprendere la 0^0=1 way.
accordi che altro non sono che la tua trattazione sul prodotto rielaborato.

una rielaborazione che consente 0^0=1 ma che è una definizione che va posta in evidenza


spero che mò ce semo capiti

Davvero, Massimo, penso che non abbia troppo senso continuare, perché credo che entrambi abbiamo detto tutto quello che potevamo per far capire all'altro il nostro pensiero.

Ed entrambi pensiamo che sia l'altro che non capisce a sufficienza. Io so anche di non avere molto tempo a disposizione: se ne vale la pena lo dedico anche a questa discussione, altrimenti preferirei di no.


Per anni ho pensato di poter “convincere con le parole”, e di poter forzare l'altro “quanto ce n'è bisogno”, però da tanti anni, ormai, so che spesso è una mera illusione e di non averne diritto.

Quindi “mi ritiro”.

Comunque: no, la pensiamo diversamente (credo di averlo già ripetuto una trentina di volte).
Infatti io credo che 0°=1 “intrinsecamente”, senza necessità di aggiungere niente.
Invece tu pensi che sia una questione di definizione che va data “ a parte”, altrimenti l'espressione non ha significato “naturalmente” (cioè per quanto segue dalla definizione di potenza).


Se poi mi sono sbagliato: pazienza.
Questa lunga discussione mi ha fatto rivedere molto l'immagine che avevo dei “matematici”, e ormai mi sono abituato a pensare che ce ne sono diversi che hanno idee a mio parere incoerenti.
E questa scoperta mi è estremamente utile per conoscere la realtà e per dare il giusto valore alle cose, per cui io, lungi dal volerla allontanare, me la tengo cara.

Che cosa e' una potenza? E' una operazione la potenza? Beh forse a rigore no, non so bene come possiamo dire, forse possiamo dire che e' una relazione binaria (un sottoinsieme del prodotto cartesiano NxN su cui una certa proposizione e' vera, o se si preferisce, possiamo considerare il suo grafico, un sottoinsieme in questo caso di NxNxN) cosi' si fanno felici tutti, chi dice che 0^0 e' indeterminata e chi le attribuisce un valore. Comunque non e' una delle operazioni di monoide dei naturali se e' questo che vogliamo dire. OK beh per dirla tutta.... fin tanto che restiamo nel monoide dei naturali, forse potremmo anche fare a meno di introdurre la potenza zero-esima. Che introduciamo principalmente per consistenza per completare certe proprieta' delle potenze, visto che e' possibile fare questo in maniera "pulita".

A me sembra chiarissimo.
Dalla definizione al punto 19 del solito testo «Proposta di una feconda definizione di prodotto» segue che in generale dato un monoide (A, *) (ecc.) la potenza naturale in questione è una funzione da AXN in A …, ma questo non ci interessa.
In particolare la potenza naturale in R è una funzione da RXN in R,
e per il caso di cui parlavi tu si ha proprio una operazione: la potenza naturale in N è una funzione da NXN in N, cioè un'operazione in N.
Ma perché sia effettivamente una funzione (definita) in N deve avere significato anche 0°,
oppure si può avere l'operazione in N0 (L'insieme dei naturali positivi), in cui non si definisce per nessun n né il caso n^0, né il caso 0^n.

Quindi: no, se vogliamo che sia un'operazione in N (è di per sé lo è, a meno che qualcuno non abbia la “missione” di non definire 0°) non possiamo esimersi dal definire il caso 0° (almeno nel caso in cui si sia definito 0^n oppure n^0 con un n diverso da 0).

Va da se' che questo non c'entra con lo zero che non ha potenze negative (a mio modo di vedere, neanche nulle).

Non capisco che cosa vuoi dire: inizialmente, naturalmente, operativamente e “concettualmente” (cioè a me pare che sia quello che anche tu stai facendo e stai proponendo) la definizione di potenza si da con esponente naturale.
Quindi “non ci interessa” estenderla ai numeri non naturali (per esempio agli interi negativi). L'esponente naturale ha senso per tutti i numeri, sia naturali, sia interi, sia reali, sia complessi, …, e non evidenzia alcun problema (a meno che qualcuno non abbia la “missione” di non definire 0°).
Dici che «lo zero non ha potenze negative»: è vero, ma “sono fatti suoi”, a me non interessa più di tanto. Apre una problematica che esula dalla nostra: noi vogliamo sì anche valutare se il concetto di potenza può essere esteso anche ai non naturali (e si osserva che questo non può essere fatto senza ridurre il dominio della base, se questo era “inizialmente” N o R), ma prima dobbiamo aver ben chiaro se il concetto di potenza è dato per ogni numero naturale (e la risposta è, ovviamente, “Sì”).

Che cosa e' una potenza nell'ambito dei soli naturali? Di fatto e' una moltiplicazione ripetuta, null'altro, … (omissis) … l'idea di andare a definire un 0^n che assuma un valore diverso da zero fa ribrezzo

Beh, se parti già da una definizione su cui non discuti, e questa è “operazione ripetuta, a partire da uno dei fattori”, allora almeno quel fattore devi averlo, e quindi se la base è zero allora qualunque prodotto deve essere zero.
Ma questo discorso evidentemente è “di parte”, non è sufficientemente approfondito e porta a contraddizioni che ovviamente obbligano a scartare il caso 0°.
Mi sembra un “ragionamento” da scartare decisamente, anche prima di averlo “aggiustato”, perché parte in modo davvero “brutto”.

Pensaci un attimo: 0^1 = 0 pero' 0^0 nella tua definizione vale 1. Eppure 0 precede 1, nell'ordinamento completo dei naturali.

Certo, uno può chiedersi il perché di questa cosa, ma “i fatti sono fatti”, ed è naturale definire 0°=1 , come si definisce che a°=1 anche per tutti gli altri a.
Però tutti siamo in grado di rispondere senza problemi anche a questa domanda, perché si analizza la funzione reale x^x, in cui si intuisce (o si capisce) quello che accade.

Ordinamento che tutte le altre infinite coppie di naturali che vanno a unirsi mediante la potenza, invece, rispettano (anzi se entrambi i partner sono diversi da zero - l'elemento nullificante - e uno - l'elemento neutro - lo rispettano in maniera stretta, vale "strettamente maggiore" se ce n'e' almeno uno).

No: 1^1 = 1^2 = 1^3 = …
Cioè pur aumentando l'esponente, il valore della potenza rimane lo stesso. Invece se la base è maggiore di 1 aumentando l'esponente aumenta la potenza, anzi: più la base è grande, più aumenta la potenza.
Allora mi sembrerebbe naturale (o comunque non dovrebbe stupire molto) che se la base è addirittura minore di 1 la potenza addirittura “diminuisca” aumentando l'esponente, cosa che accade appunto con 0° = 1 e 0¹=0 .

Noi non vogliamo certo andare a toccare la struttura del monoide dei naturali, la natura di elemento neutro, di elemento nullificante, la somma e il prodotto e tutte queste cose qui (che, volendo, permetterebbero di definire cose di questo tipo) noi vogliamo restare nei naturali e quindi di autorita' andiamo a ridefinire questo singolo punto, forti del fatto che si tratta di un punto singolo e quindi..... Deve pero' essere chiaro cio' che stai facendo, che e' dichiarare come privilegiata una fra tante relazioni del tutto equivalenti, per motivi estetici tuoi, e peraltro rigettando quella "standard" che assegna a 0^0 lo status di "indeterminato" (quindi si rinuncia ad avere una funzione, e ci teniamo una relazione! un sacrificio non da poco) per mantenere il legame col prodotto, che poi, e' la ragione per cui abbiamo introdotto le potenze in questo contesto.

A tutto quello che dici mi pare di avere abbondantemente risposto.
Ripeto che non “toccando” niente del monoide (anche non dei naturali), senza fare “scelte particolari” e senza rinunciare ad avere una funzione, noi abbiamo naturalmente la definizione di potenza naturale.

Aggiungo anceh che non sono sicuro che la relazione «"standard" ... assegna a 0^0 lo status di "indeterminato"»; magari è vero, ma non ne mai avuto la conferma “ufficiale” (o “ufficiosa” da Ivana, che bazzica l'ambiente dell'UMI “molto più di me”).

Infatti tu non hai un algoritmo per calcolare la tua relazione di potenza. La definizione standard ha il seguente algoritmo: se n>0, m^(n+1)=m * m^n e procedi per ricorsione considerando m^1=m ; se n<0, definiamo m^(-1)=1/m e ci riconduciamo al caso precedente; se n=0, m^0=m^(1-1)=m * (1/ m) =1 se m e' diverso da zero. Il caso 0^0 non puo' rientrare nell'algoritmo, sei costretto ad aggiungerlo a mano. Non puoi definirlo per ricorsione o prolungamento e simili, facci caso.... te lo impediscono le proprieta' dei naturali e degli interi (Attenzione!! Potresti procedere benissimo in insiemi estesi in cui si puo dare senso al "dividere per zero" e allora la cosa e' ben definita. Ma non puoi farlo in maniera surrettizia senza dire ai tuoi studenti cosa stai facendo davvero.)

Daniela, tu parli di “algoritmo” come se le definizioni fossero solo “operative”.
Ma in matematica ci sono anche altre definizioni, e probabilmente la nostra non comprensione parte da qui.
Io non ho mai avuto in mente questa modalità nell'introdurre la definizione di potenza, e in generale la rifuggo proprio (in realtà l'ho considerata nel punto 26 del documento «Proposta di una feconda definizione di prodotto»).

Dici: «La definizione standard ha il seguente algoritmo: ...» ma non capisco se è “ufficiale”, oppure è quella che usi tu. Nel secondo caso in questo contesto non fa assolutamente testo, nel primo caso, semplicemente è un'informazione, ma non così importante.

Dici:
«se n>0, m^(n+1)=m * m^n e procedi per ricorsione considerando m^1=m; … ; se n=0, m^0=m^(1-1)=m * (1/ m) =1 se m e' diverso da zero», ma basta cambiarla in
«per ogni n, m^(n+1)=m * m^n e procedi per ricorsione considerando m^0=1», guadagnando in sintesi: concisione, generalità, significato e “bellezza”. Davvero, non puoi non vedere come, al confronto, la prima sia decisamente “brutta”, insostenibile, da eliminare immediatamente.

Dici:
«Il caso 0^0 non puo' rientrare nell'algoritmo, sei costretto ad aggiungerlo a mano»
Evidentemente è proprio il contrario!
E converrai che se il fatto di dover “aggiungere a mano” il caso specifico è un dato a favore di chi osteggia 0°=1, il fatto che tu debba “eliminare a mano” quel caso è un dato a favore di chi sostiene 0°=1 .

Ci sono molte questioni aperte in matematica e talvolta non sappiamo se la risposta e' "A" "non A" oppure "non determinata" dando vita a matematiche distinte e con lo stesso diritto ad esistere. Sarebbe certamente affascinante discutere con i tuoi studenti dell'assioma della scelta o dell'ipotesi del continuo. C'e' un librettino molto bello in italiano di Lucio Lombardo Radice che il mio insegnante aveva utilizzato quando ero al liceo e che non ha perso attualita'. Riportare poi anche solo poche righe di una posizione diametralmente opposta - per esempio il punto di vista di Cohen - penso che sia in grado di spiazzare chiunque, e fornire materiale di riflessione per decenni.

So che ci sono teoremi dimostrabili, falsificabili, non valutati e indecidibili (a suo tempo mi lessi anche le dimostrazioni di Goedel), ma non è certamente questo il caso, sia perché non si parla di un teorema, ma di una definizione, sia perché sto cercando di far comprendere come la cosa sia perfettamente chiara e naturale, quasi non meritasse neppure di discuterne.

Ai i miei studenti propongo spesso (“troppo spesso”) problematiche delle natura più svariate, ma non mi illudo di poterli coinvolgere più di tanto in discussioni profonde su alcuni temi.

Per Ivana: non dico che gli studenti non sono in grado di discutere, anzj, con qualcuno c'è un confronto continuo, e spesso producono anche idee “nuove” (soprattutto per loro) e interessanti, ma che su certi temi non hanno né sufficienti conoscenze, né sufficiente esperienza.


Comunque io sono abbastanza ignorante, e non conosco affatto il librettino di cui parli.
E non sono neppure certo di aver capito il senso dell'ultima parte. Ma, ammesso di averlo capito, ti dico (dall'alto della mia presunzione) che dubito molto che questo libretto sia in grado di spiazzarmi riguardo la “ovvietà” di 0°=1 .


Fine … (spero di non dover ricominciare un altro posto così lungo …).

[Massimo]

@infinito:
non ti scordare che il tuo 0^0=1 parte dalla definizione di prodotto di n fattori rimaneggiato.
usi il rimaneggiato, non quello standard, quindi.

se chiedo a chiunque quanto fa 2x2 egli farà appello alle tabelline che rispondono direttamente con la risposta alla domanda fatta.
se lo chiedo a te mi applicherai a rigore la tabellina dell'1 (1x2) e il risultato lo inserirai in una seconda tabellina (quella del 2: 2x2).

senza quell'artificio a 0^0=1 non ci arrivi manco tu, ergo non è intrinseco un bel nulla.
ne consegue che puoi scegliere tre strategie: o specifichi che il prodotto di n fattori deve essere fecondo (che impiegato sempre è un po' come andar a far la spesa con la Ferrari); oppure lo poni: 0^0:=1; oppure lasci il mondo come sta e 0^0 è non definito.

@daniela:
mannaggia! non puoi schifare il prosciutto così impunemente: minimo 10 flessioni di penitenza!

[infinito]

@infinito:
non ti scordare che il tuo 0^0=1 parte dalla definizione di prodotto di n fattori rimaneggiato.
usi il rimaneggiato, non quello standard, quindi.

Non è esatto: nel lavoro «0°=1, inequivocabilmente», do la definizione di potenza naturale in 4 modi diversi, e tutte portano “inequivocabilmente” alla conclusione che 0°=1.

La prima definizione (quella “bella” e sintetica) è quella di cui parli tu, ma la 3ª definizione segue la strada standard, solo non inciampa in ragionamenti assurdi o contraddittori. Ovviamente si cerca di estendere la definizione di potenza anche al caso 0° e si giunge alla solita conclusione.

Magari danni un'occhiata, e poi confronta quanto c'è con la definizione che conosci tu, evidenziando eventuali contraddizioni che ti portano a scartare il caso 0°.

se chiedo a chiunque quanto fa 2x2 egli farà appello alle tabelline che rispondono direttamente con la risposta alla domanda fatta.
se lo chiedo a te mi applicherai a rigore la tabellina dell'1 (1x2) e il risultato lo inserirai in una seconda tabellina (quella del 2: 2x2).

Aspetta: se mi chiedi di fare il prodotto (come operazione unaria) ovviamente anche io faccio 2·2, ma se mi chiedi di fare un prodotto esteso ad un numero qualunque numero di fattori (uguale o diverso da 2, come nel caso della potenza), allora io agisco diversamente.
Fra l'altro non «moltiplico 2 per sé stesso due volte», come dicono molti (che farebbe 2·2·2 - confronta il punto 6.5), ma o moltiplico solo una volta, oppure moltiplico 1 per 2 “due volte”.
In realtà io moltiplico fra loro due fattori uguali a 2.

Cioè io credo di avere ben chiari alcuni punti che spesso sono confusi:

- La definizione di prodotto nasce “binaria”, tutte le altre estensioni non sono “la stessa cosa”, ed è diversa anche l'operazione “prodotto ripetuto” con due soli fattori.

- Estendere il prodotto binario a tre o più fattori, ad uno o a zero fattori non è concettualmente troppo diverso.

- La definizione di 0° segue la forma ed i concetti della definizione di potenza in generale, non quello che “ho sempre visto io”. Se mi accorgo di stare dicendo una cosa falsa, cerco di capire i miei errori, perché li ho fatti e se sono importanti, e poi guardo se è il caso di correggerli e ne cerco il modo “migliore”.

senza quell'artificio a 0^0=1 non ci arrivi manco tu, ergo non è intrinseco un bel nulla.
ne consegue che puoi scegliere tre strategie: o specifichi che il prodotto di n fattori deve essere fecondo (che impiegato sempre è un po' come andar a far la spesa con la Ferrari); oppure lo poni: 0^0:=1; oppure lasci il mondo come sta e 0^0 è non definito.

Evidentemente (guardati le 4 definizioni) ci arrivo senza alcun problema.

E poi, sencaso, è il contrario.
Intendo dire che se con “la Ferrari” intendi una cosa “cara”, “imponente”, “ingombrante”, “poco pratica”, “delicata”, “fatta soprattutto per essere notata”, “...”, allora sei tu che usi lo strumento meno adatto: la definizione di prodotto esteso è sintetica, generale, non necessita di alcuna specificazione e si usa in ogni contesto. Solo “va capita” ed “interiorizzata” ...

@daniela:
mannaggia! non puoi schifare il prosciutto così impunemente: minimo 10 flessioni di penitenza!

Beh, qui concordo con Massimo (era ora!)

A meno che Daniela non sia vegetariana, nel qual caso (nonostante io non lo sia) posso appoggiare anche la sua posizione.

[Daniela]

No Gaspero una operazione non e' banalmente una funzione da insieme x insieme ---> insieme, e' invece parte integrante della struttura dell'insieme stesso. Un insieme numerico ha una somma con determinate caratteristiche, che e' commutativa, ha un elemento neutro, e' associativa; ha un prodotto anche lui con determinate caratteristiche, con un elemento neutro sia destro che sinistro, e' associativo; la somma e il prodotto interagiscono in una certa maniera, con la distributivita', l'elemento neutro della somma moltiplicato (per quanto sopra, sia da destra che da sinistra) con l'elemento neutro del prodotto ci deve dare l'elemento neutro della somma, e una serie di altre cose che avro di certo dimenticato di elencare. Un insieme numerico puo' avere o puo' non avere un ordinamento, se ce l'ha questo puo' essere parziale o completo. Un insieme numerico puo' avere o non avere ulteriori strutture, metrica, distanza, norma, misura, le strutture di monoide, semigruppo, gruppo, anello, campo, ideale, uno o piu coniugii, e anche qui ne avro certamente dimenticate una mezza dozzina.... qualsiasi insieme numerico e' una categoria concreta e dunque si puo' immaginare come un insieme (con le strutture di insieme, quelle di base unione intersezione e complemento e sottoinsiemi e loro proprieta' per un insieme ben definito, e quelle che ci mettiamo sopra, dalla cardinalita' in poi su su verso la topologia e tutto il resto) a cui via via aggiungiamo strati di sovrastrutture che non vanno a interferire con gli strati precedenti. Un insieme numerico puo' vivere tranquillo per conto proprio o puo' avere interazioni con un altro insieme numerico (o piu' insiemi numerici) in una certa maniera, o piu' probabilmente, interagire con strutture non numeriche. Detto questo pero' un insieme numerico e' uno strumento per fare delle cose, non e' definito da cio' che tu fai con quello strumento. Il monoide (N, +, *) vive felice che tu definisca o meno la potenza o molte altre faccende, puo' esserci del vero nella affermazione che l'operazione di potenza ha una sua ragione "naturale" di esistere nello spazio vettoriale anzi nell'algebra dei polinomi, ma su N tu hai esclusivamente una definizione ricorsiva di potenza come moltiplicazione ripetuta, che parte dall'esponente 1, e gli esponenti nulli non hai neanche una gran ragione di definirli se non passi a Z. Che ne sai di quanto fa 3^0 ? Come lo calcoli, operativamente? E' una filastrocca che si ripete a memoria o lo sai davvero? Saresti capace di convincere un bambino, non un tuo studente a cui puoi dare "quattro", ma un ragazzino qualunque, che se moltiplichi tre "zero volte per se stesso" viene uno? scommetto di no...... pensaci e dimmi come faresti, e poi dimmi anche se l'argomentazione funziona con 0^0 ..... Posso condividere la mia risposta se siete curiosi, ma con la mia risposta (che finora ha sempre convinto i ragazzini a cui la ho esposta) 0^0 non funziona, risulta non determinato e non calcolabile. Naturalmente e' possibile che sono cretina io e che voi avete l'idea giusta, pero' scrivetela cosi' ci convinceremo tutti.... non e' che puoi pensare che la tua idea sia convincente per il solo fatto che convince te. Sta a te l'onere della prova, di una prova che e' fallata in quanto spezza all'epistrofeo la stessa basilare operazione di prodotto, perche' mi viene a dire che io non posso moltiplicare come mi pare, che di tutte le copie che l'associativita' mi permette di moltiplicare senza una gerarchia, ce n'e' al contrario una che e' diversa dalle altre, ha un'etichetta! e che dimentica invece da dove si generano i numeri naturali. Abbiamo l'insieme vuoto. Abbiamo lo zero, che e' la cardinalita' dell'insieme vuoto. Abbiamo l'operazione di successore. (Ma non quella di precedente! Sapere che (3*se stesso)_(effettuato una volta) vale 3, non ci dice niente sul passo che lo precede, se esiste, ne' sulla sua stessa esistenza.) Non abbiamo altro, e aggiungere altro ci genera una struttura diversa da quella dei naturali, che va correttamente presentata come tale, oppure dobbiamo ammettere che abbiamo costruito una funzione "#" che possiamo definire fin che vogliamo ma che e' ormai divorziata irrimediabilmente dalla struttura di prodotto su N.

Per quanto mi riguarda zero e' l'elemento neutro e come ogni elemento neutro che si rispetti non puo' generare un altro numero mediante nessun genere di operazione derivata dal prodotto, in quanto il monoide dei naturali con le operazioni standard non contiene divisori dello zero (Vuoi introdurli? Fai pure! Ma non in maniera surrettizia! di' ai tuoi studenti cosa stai _davvero_ facendo....) e per quanto mi riguarda N con le operazioni e la struttura d'ordine standard e' archimedeo e dunque nessun genere di operazione derivata dal prodotto puo' pensare di invertire il verso delle relazioni d'ordine, che anzi, ove non compaiono gli elementi neutri, viene strettamente preservato ("strettamente" vale solo se entrambi i partner sono diversi dagli elementi neutri come avevo scritto! il tuo esempio contiene degli "uni"; la forma debole invece vale sempre).

[Ivana]

Nel libro “Cominciamo da zero” di Vinicio Villani (tra l’altro è stato Presidente dell’UMI dal 1982 al 1988): http://www.maecla.it/bibliotecamatemati ... ILLANI.htm" target="_blank
c’è il paragrafo 20 dedicato, tra l’altro, all’espressione 0^0
”Perché non si attribuisce alcun significato numerico ad espressioni come 0^0 o 0^(-1)?”
L’autore fornisce spiegazioni semplici e chiare e, a proposito di 0^0, conclude precisando che "non vi sono impedimenti teorici ad attribuire all'espressione 0^0 un valore numerico a piacere. Ma ciò creerebbe solo ulteriori complicazioni, senza risolvere alcun problema significativo di carattere teorico o applicativo. Quindi la comunità matematica internazionale è stata ed è unanime nel ritenere preferibile lasciare le cose come stanno"

[infinito]

No Gaspero una operazione non e' banalmente una funzione da insieme x insieme ---> insieme, e' invece parte integrante della struttura dell'insieme stesso. Un insieme numerico ha una somma con determinate caratteristiche ...

Non mi risulta. Ma non so dove prendere definizioni su cui concordiamo entrambi. Comunque, per esempio, su Wikipedia, alla voce “monoide”, recita
«Un monoide è un insieme M munito di una singola operazione binaria, chiamata prodotto, che ad ogni coppia di elementi a, b di M associa un elemento ab, rispettando i seguenti assiomi: ...» intendendo che addirittura non si richiede nemmeno che per essere un'operazione in N non necessita nemmeno che sia a valori in N, ma solo che sia una funzione da NxN in un certo insieme (cosa che io non condivido).

Però non mi pare una cosa così essenziale. Io ho semplicemente risposto a quello che dicevi, ma, per esempio, nel mio lavoro no si fa cenno al fatto che la potenza sia una operazione in N.

Anzi: se vogliamo continuare il confronto fra le nostre idee, mi piacerebbe che non si continuasse a “divagare” e a affrontare i concetti in modo (per favore cerca di capire che cosa intendo) “estemporaneo”.
Io ho fatto un lavoro organico, in cui presento un ragionamento sequenziale, che mi pare affronti tutte le vostre argomentazioni, e per confrontarcisi meglio lo ho diviso in piccoli punti “numerati” . Per evitare di “girare a vuoto”, credo che sarebbe buona cosa riferirsi ai singoli punti, evidenziando dove il ragionamento non è stringente, o è sbagliato, o segue da preconcetti, oppure fa scelte non ben motivate, o ha altri punti deboli.
Faccio presente che alcune argomentazioni o affermazioni non sono di matematica, ma di “metamatematica”, però si possono semplicemente omettere senza che il resto perda organicità.


Probabilmente, però, resta valido anche con te quello che ho detto a Massimo:

Davvero, Massimo, penso che non abbia troppo senso continuare, perché credo che entrambi abbiamo detto tutto quello che potevamo per far capire all'altro il nostro pensiero.

Ed entrambi pensiamo che sia l'altro che non capisce a sufficienza. Io so anche di non avere molto tempo a disposizione: se ne vale la pena lo dedico anche a questa discussione, altrimenti preferirei di no.

Detto questo pero' un insieme numerico e' uno strumento per fare delle cose, non e' definito da cio' che tu fai con quello strumento.

Non che sia troppo importante ai fini della discussione (se non per eventuali preconcetti che può comportare), ma questa è una tua personale visione, probabilmente legata ad un approccio da “fisico”. Io tendo più a cercare vedere le cose per “quello che sono”, e poi mi sento libero di “farne l'uso che voglio”.
Nel caso in questione, l'uguaglianza 0°=1 la trovo prima di fare qualsiasi uso della potenza, cioè trovo che 0°=1 “di per sé. E questo mi fa dire tutto quello che ho detto a proposito.

... ma su N tu hai esclusivamente una definizione ricorsiva di potenza come moltiplicazione ripetuta, che parte dall'esponente 1...

Su questo ti avevo già risposto: «se parti già da una definizione su cui non discuti, e questa è “operazione ripetuta, a partire da uno dei fattori”» allora non possiamo confrontarci sull'impostazione.
Io non parto assolutamente da questa “tua” definizione. Io affronto le potenze da punti di vista diversi, e giungo sempre alla stessa conclusione. Ma cerco sempre di estendere al massimo le definizioni che ho (come è “doveroso”), nient'altro. E questo è il motivo per cui trovo sempre definibile 0°, mentre “voi” no.

... e gli esponenti nulli non hai neanche una gran ragione di definirli se non passi a Z.

Se fosse vero non vedo perché “tutti” (correggimi se sbaglio) introducono, almeno per a non nullo, a°=1.
Ma nei miei due lavori non ho mai argomentato con “lo fanno tutti”, ho semplicemente motivato razionalmente ripetutamente perché definisco le potenze con gli esponenti nulli.

Che ne sai di quanto fa 3^0 ? Come lo calcoli, operativamente? E' una filastrocca che si ripete a memoria o lo sai davvero? Saresti capace di convincere un bambino, non un tuo studente a cui puoi dare "quattro", ma un ragazzino qualunque, che se moltiplichi tre "zero volte per se stesso" viene uno? scommetto di no...... pensaci e dimmi come faresti, e poi dimmi anche se l'argomentazione funziona con 0^0 .....

mi viene il dubbio: ma tu finora lo hai almeno “spulciato” uno dei due lavori di cui ho parlato?
Dopo tralascio il fatto che se fra “matematici” fossimo convinti che 0°=1, ma non sapessimo darne una motivazione accessibile ai più, probabilmente la daremmo semplicemente come dato di fatto. Per esempio, spessissimo in fisica si fa così (esempio e=mc²), ma anche in matematica, per esempio quando si insegna il prodotto in colonna fra numeri naturali o quando si insegna che (-1)·(-1)=1; però qui ti pare una “motivazione”, e ti pare perché deve motivare un preconcetto (spessissimo si motivano solo così).

Nelle varie definizioni che ho date nei miei lavori (di prodotto esteso e di potenza naturale), ho cercato di essere anche molto “semplice” (però senza rinunciare troppo alla correttezza formale).
Per cui: per me la definizione di “prodotto esteso” non necessita di ausili: il prodotto di 0 fattori è semplicemente l'elemento neutro del prodotto (è “ovvio”, immediatamente (cioè: in modo non mediato da qualcosa, perché è un concetto davvero “di base);

però per rendere il concetto comprensibile anche “ai più”, ho usato un “artificio”:
ho distinto il concetto di “prodotto binario”, che è l'operazione da cui si parte per definire quello ripetuto, e il concetto di “prodotto ripetuto”, che è concettualmente diverso,
e ho definito quest'ultimo con l'ausilio dell'elemento neutro, per esempio al punto 14 del “proposta di una feconda definizione di prodotto” (del tipo: 1·a·a·.....·a). È allora evidente ceh 3³=1·3·3·3=27, che 3²=1·3·3=9, che 3¹=1·3=3 e che 3°=1 (ho moltiplicato 1 per 3 zero volte).

E ovviamente funziona anche con 0 (0²=1·0·0, 0¹=1·0 e 0°=1)
… Poi esistono anche ragazzini che non lo capiscono …

Naturalmente e' possibile … che voi avete l'idea giusta, pero' scrivetela cosi' ci convinceremo tutti.... non e' che puoi pensare che la tua idea sia convincente per il solo fatto che convince te. Sta a te l'onere della prova ...

Dico, Daniela, ma stai scherzando?
Non solo l'ho scritta, ma l'ho scritta su un (due) documento pubblicato, citato e ripetutamente linkato …



(della parte che segue ho capito ben poco, ma probabilmente a molte cose, ammesso che fossero importanti, ho risposto sopra)

Per quanto mi riguarda zero e' l'elemento neutro e come ogni elemento neutro che si rispetti non puo' generare un altro numero mediante nessun genere di operazione derivata dal prodotto ...

Questa affermazione mi pare “preconcetta”, mal definita, inutile e, “probabilmente” sbagliata.
Non vedo neanche l'utilità di approfondire.

... in quanto il monoide dei naturali con le operazioni standard non contiene divisori dello zero (Vuoi introdurli? Fai pure! Ma non in maniera surrettizia! di' ai tuoi studenti cosa stai _davvero_ facendo....) ...

Ho ripetutamente fatto presente come ho operato.
Non ho MAI introdotto alcun divisore dello zero.
Credo che sia solo fra “voi” del «0° non è definito» che c'è chi pensa che 0° derivi da «a^n/a^n=a^(n-n)=a^0», ma non certo da me.

... per quanto mi riguarda N con le operazioni e la struttura d'ordine standard e' archimedeo e dunque nessun genere di operazione derivata dal prodotto puo' pensare di invertire il verso delle relazioni d'ordine, che anzi, ove non compaiono gli elementi neutri, viene strettamente preservato ("strettamente" vale solo se entrambi i partner sono diversi dagli elementi neutri come avevo scritto! il tuo esempio contiene degli "uni"; la forma debole invece vale sempre).

Credo che il tuo “per quanto mi riguarda” significhi che non hai idea di come dimostrarlo; e non me ne stupisco, visto che «nessun genere di operazione derivata dal prodotto» non è ben definito, e soprattutto che 0°>0¹.




Ma hai idea di che ore “mi fai fare”?? Comunque “stammi bene”.

"non vi sono impedimenti teorici ad attribuire all'espressione 0^0 un valore numerico a piacere. Ma ciò creerebbe solo ulteriori complicazioni, senza risolvere alcun problema significativo di carattere teorico o applicativo.

Continuo a non trovare argomentazioni matematiche che non siano sbagliate, preconcette, “di autorità”, o del tipo “lo fanno tutti”.
Quali “complicazioni” creerebbe? (io dico: Nessuna). E se ci sono delle realtà complicate, semplicemente aiuterebbe a farle presenti, promuovendo la loro comprensione.

Per la risoluzione di problemi basta confrontare cosa ho scritto nella 3ª parte (paragrafo 6) di «0°=1, inequivocabilmente» e nei punti dal 23 al 37 di «proposta di una feconda definizione di prodotto».

Quindi la comunità matematica internazionale è stata ed è unanime nel ritenere preferibile lasciare le cose come stanno"

Anche qui non ho ben capito che cosa si intende: io, per esempio, faccio parte di questa comunità?

[Ivana]

Gaspero, quelle che tu chiami “argomentazioni matematiche di autorità” sono le argomentazioni di chi, come me, crede che la matematica sia frutto di convenzioni umane (che, comunque, cambiano attraverso il tempo!) che desidera conoscere bene, lasciando libertà a chi decide diversamente…
Sono convinta che perfino l’inclusione o l’esclusione dello zero dall’ambito dei numeri naturali sia frutto di una convenzione umana e, come ripeto, le convenzioni umane vengono modificate nel tempo…Lo stesso Peano, nel 1891, nel suo Formulario, escludeva lo zero dai numeri naturali, mentre nella successiva edizione del 1898 proprio Peano includeva lo zero nei numeri naturali…
Ritengo che, anche attualmente, ci siano “segnali” di possibili successive modifiche della convenzione codificata…Il fatto che il calcolatore dell’Indire (Agenzia che, tra l’altro, ha la funzione della formazione iniziale e continua dei docenti) dia 0^0 = 1, attribuendo un significato numerico all’espressione 0^0, indica che ci sono matematici, oltre a Gaspero,che ritengono opportuno assegnare il valore numerico 1 a tale espressione…
Anche quello scambio di e-mail tra matematici (pagina web da me segnalata in precedenza e che ora è stata rimossa!) dimostrava la non unanimità di posizione riguardo a 0^0.
Insomma la storia stessa della matematica continua a insegnarci che anche in matematica “del doman non v’è certezza”…

[Massimo]

@infinito.

Riferendomi al testo 0°=1 inquivocabilmente.pdf:

Pur non scrivendo che ti riferisci alla definizione di potenza ti dico che:
1.1. Assolutamente quella non è la definizione di potenza. Chiamala potenza estesa. Altrimenti mi si torcono le budella.
2.1. Idem. Non definendo il prodotto esteso, la 2.1. altro non è che la definizione di potenza estesa senza aver definito il prodotto esteso.

3.3. Le proprietà della definizione non sono quelle, manca la posizione eccetto 0° che non è definita.

Supponimi storpio. Ti vien data la mia carta d'identità con una foto con 2 occhi. Tale foto è tanto veritiera di quel che sarei quanto sono vere le cose citate.
Che poi s'intuisca che le differenze sono poche è un altro paio di maniche.

Le definizioni 1.1. e 2.1. e le proprietà 3.3. considerano accettabile la carta d'identità taroccata, non considerano che io possa avere difetti. Che ho e non posso farne a meno.
Posso mettere l'occhio di vetro (dire che assumo 0°=1) ma quell'1 (che io chiamo 1*) non ci vede come gli altri 1.

4.2. non sò seguirti rimando ad altri i ragionamenti.

2a parte: il concetto di limite esula talmente tanto in casi di discontinuità di questo ordine che manco mi ci soffermo.

3a parte: essendo possibile (lo penso pure io, che credi! ) porre 0°:=1 i ragionamenti fatti sono validi. Ma per me 0°:=1 non 0°=1... come spesso è naturale che sia, così come altrettanto spesso è possibile che non lo sia.




1° Es. tracciare il grafico 0^x
Soluzione il grafico è coincidente con l'asse x posto 0°:=0

2° Es. tracciare il grafico x°
Soluzione il grafico è coincidente con la retta y=1 posto 0°:=1

3° Es. quanto fa (0^x+2)*(x°) per x app. ad R?

Fa ovunque 2 tranne che per x=0 nel qual caso fa un po' quel che pare all'operatore, in altre parole non è definito per x=0

[Daniela]

Chiamala potenza estesa, e poi fammi sapere in quali circostanze ha una qualsiasi utilita', fammi vedere un conto..... che permette di completare piu' velocemente o piu' efficientemente della definizione che usiamo tutti noi.

Riguardo a (-1)*(-1) non lo so se esistano insegnanti (la parola giusta sarebbe "mentecatti") che lo insegnano come una filastrocca, mi auguro di no, pero' se mi dici di si', ti credo perche' purtroppo ci sono tante cose che non vanno nella scuola..... pero' questo non c'entra, anche perche' ci sono senza dubbio milioni di insegnanti sul pianeta - e tanti anche nella nostra sgangherata italia dove la matematica e' trattata alla stregua della spazzatura (non e' un caso se c'e' chi si guadagna da vivere con entrambe, ma chi si picca del proprio potere e posizione sociale elevata, spesso si vanta di non avere il minimo contatto con nessuna delle due....) che insegnano come si deve. Possiamo mostrarlo a livello costruttivo e questo richiede la conoscenza del prodotto cartesiano (che comunque ormai martellano anche alle elementari...) Abbiamo dunque un monoide (N, +, *, <) e ci piacerebbe estenderlo, perche' ci piacerebbe dare senso a quella che in prima elementare chiamano "sottrazione" (e che non e' una operazione!). Il nostro intento e' di definire una nuova operazione, chiamata inverso, definita su N e poi sull'intero campo esteso, che rispetti tutte le strutture esistenti. Per fare questo iniziamo a generare il nostro spazio di lavoro nella maniera standard e canonica e ci prendiamo NxN il prodotto cartesiano, un elemento di questo spazio e' definito da una coppia ordinata di naturali. A questo punto costruiamo Z anche in questo caso con il metodo piu consueto che ci sia, mediante una relazione di equivalenza: (a,b)~(c,d) <=> a+d=c+b (dove la somma e' quella di N). Se preferisci vederlo graficamente immagina il quadrante cartesiano tutto positivo, immagina il fascio delle rette tutte con pendenza 1 (non sono rette sono fatte di punti discreti ma insomma per capirci) quelle che intersecano l'asse "x" positivo sono i numeri positivi, quelle che intersecano l'asse "y" positivo (e che intersecherebbero l'asse "x" negativo se avesse gia' senso dirlo...) sono i numeri negativi. Si vede che e' tutto ben definito e non dipende dal rappresentante della classe di equivalenza che abbiamo scelto, si vede che riproduciamo perfettamente N - andiamo cioe' a verificare che il naturale "n" corrisponde alla classe di equivalenza [(n, 0)] e l'elemento (n,0) del prodotto cartesiano NxN e' uno dei rappresentanti di tale classe; la somma n+m in N corrisponde a [(n+m, 0)] nel nuovo insieme che diventera' Z (mi sono scelta un rappresentante semplice, va fatta sul rappresentante generico, e poi verificare che e' ben costruita, ma non voglio appesantire con troppi dettagli), definiamo il prodotto n*m in N nel nuovo insieme questo lo lascio scrivere a voi, tutto questo e' ben definito e non dipende dal rappresentante; verifichiamo che per qualunque elemento del nuovo insieme questo funziona bene e possiamo costruire le nuove operazioni "+" (una operazione diversa, su Z) e "*" (anche questa su Z), dopodiche' scopriamo che possiamo definire l'operazione "inverso", che e' un coniugio (e' involutorio) e che agisce cosi': [(a, b)] ---> [(b, a)] scopriamo che esiste un insieme "dei numeri negativi" speculare ad N, scopriamo che il nuovo insieme e' un gruppo additivo con quella somma, quel prodotto, quella operazione di inverso che abbiamo definito, con gli elementi neutri che peraltro corrispondono biunivocamente ai vecchi se consideriamo la corrispondenza biunivoca che possiamo andare a costruire fra un certo sottoinsieme di Z e il vecchio N che quindi d'ora in poi tratteremo come "contenuto" in Z, andiamo a vedere che l'operazione inverso interagisce bene con la somma e con il prodotto, un po' di altre cosette e abbiamo Z.
E' del tutto legittimo non essere sicuri di quanto fa (-1)*(-1) ma per accertarsene non si puo' fare altro che costruirlo, peraltro questo chiarisce molto le idee sul perche' le cose sono fatte come sono fatte. Si perde magari una mattinata o un pomeriggio, ma si arriva in fondo chiarendosi la faccenda una volta per tutte, e definendo (-1)*(-1) in termini delle operazioni sui naturali! Sia il numero intero "-1" e sia il prodotto la somma e l'inverso come operazioni dell'insieme degli interi.
Sarei invece piu' preoccupata di uno studente che dicesse (-1)*(-1)=-1 perche' questo mostrerebbe una mancata comprensione della natura dei numeri; se valesse quanto sopra, avremmo che -1 sarebbe un elemento neutro del prodotto anche lui (possiamo avere due elementi neutri distinti? Che cosa succede se li moltiplico fra loro?) pero' se uno studente dice che non e' sicuro di quanto fa (-1)*(-1), soprattutto se non ha mai visto la costruzione delineata qui sopra, non me la sento di dargli torto

Riguardo al prodotto che puo assumere valori al di fuori dell'insieme.... un esempio che conosciamo tutti e' il "prodotto scalare" dei vettori, che prende due elementi di uno spazio vettoriale e restituisce un elemento del campo numerico che sta sopra lo spazio vettoriale. Mi pare che un coso come da definizione di Wikipedia sia solitamente chiamato monoide mentre quello di cui stiamo parlando (dove l'operazione e' interna all'insieme) solitamente si chiama semigruppo, almeno in italia dove si fa molta attenzione a questa nomenclatura (per fare un altro esempio, solo in italia si parla di corpi... solo in italia si mettono i puntini sulle i chiamando moltiplicazione certi prodotti...)

Riguardo alla tua posizione e al discorso sull'onere della prova, finora hai solamente mostrato che imporre 0^0:=1 non entra in contraddizione con niente (cosa che sapevamo gia', essendo indeterminato dalle strutture standard sugli insiemi numerici) e che quindi si puo' definire una potenza estesa come dici tu, il che non e' pero' piu' utile che imporre 0^0:=69 o 0^0:=(il numero di godel per la proposizione falsa "AvB c A per ogni A, B") hai scritto pagine e pagine di pensieri ma neanche un calcolo costruttivo. Esibisci un calcolo dove "0^0 non e' determinato" si blocca mentre la definizione da te proposta permette di raggiungere risultati. A parte la tautologia di definire "0^0" e a parte semplificare eventuali espressioni di quel tipo (il che si attua in maniera standard e con molta piu efficienza passando a campi densi) io non ritengo che vi siano calcoli dove la tua definizione raggiunge risultati mentre quella di tutti gli altri si blocca; se ci sono esibiscili, se non ci sono..... conoscerai certamente la barzelletta del matematico che chiede finanziamenti in tempi di tagli dolorosi e per impressionare i decision makers dichiara che lui non ha bisogno di nessun laboratorio, solo del suo misero stipendio e di carta, penna, e cestino; subito dopo tuttavia prende la parola un filosofo, che ribatte che lui non ha bisogno di nessun laboratorio, solo del suo misero stipendio e di carta e penna.

[infinito]

Massimo, finalmente critichi sul lavoro organico.

Da quello che scrivi, però, mi pare che io debba essere più chiaro.

Nel mio lavoro ho introdotto il concetto di “prodotto ripetuto”, e successivamente ho mostrato come avendo questa definizione molte altre risultino notevolmente semplificabili e “migliorabili”.

Fra queste c'è anche la definizione di potenza, da cui risulta “però” che 0°=1, che molti non accettano.

Allora mi sono cimentato nell'impresa di mostrare perché è “doveroso” riconoscere che 0°=1.

Riferendomi al testo 0°=1 inquivocabilmente.pdf:

Pur non scrivendo che ti riferisci alla definizione di potenza ti dico che:
1.1. Assolutamente quella non è la definizione di potenza. Chiamala potenza estesa. Altrimenti mi si torcono le budella.
2.1. Idem. Non definendo il prodotto esteso, la 2.1. altro non è che la definizione di potenza estesa senza aver definito il prodotto esteso.

3.3. Le proprietà della definizione non sono quelle, manca la posizione eccetto 0° che non è definita.

Il lavoro «0°=1, inequivocabilmente» intende mostrare che in qualunque modo si affronti la questione si ha che si arriva necessariamente alla posizione di 0°=1, e ce non è accettabile nessun altro valore per 0°.

Certo non si definisce la potenza in più modi diversi, ma se ne sceglie uno.

Io (“per me”) scelgo il primo, che è sicuramente il più sintetico, ma che fa uso del concetto di prodotto ripetuto.
Certo se nessun altro usa questo concetto, allora sono l'unico che sceglie questa definizione.

Per chi non ha il concetto di prodotto ripetuto io propongo una definizione “praticamente uguale”, la seconda, che non ha il prerequisito di quel concetto. Non sto imponendo ancora niente, ognuno può scegliere “la sua strada”.


La maggior parte delle persone, invece, usa un approccio molto simile a quello della terza definizione.

Chi facesse diversamente me lo faccia sapere, ma io do per scontato che “tutti” (il “tutti” sta per “tutti quelli che arrivano a non accettare il caso 0°”) inizino in modo equivalente.

Certo, non tutti danno la definizione nello stesso modo, nel senso che differisce per quello che dici tu: «manca la posizione eccetto 0° che non è definita.»

E qui inizia la prima “imposizione”: impongo di motivare perché si debba escludere quel valore.
Faccio diverse domande, e mi rispondo da solo (secondo quello che mi è stato risposto in pratica dalle persone con cui mi sono confrontato).
Ma mi sembra che diverse cose debbano essere evidenti, e le riporto in quel lavoro (se qualcuna non lo è fammelo sapere).

In particolare, se si vuole estendere il concetto di potenza ad un inseme più ampio, non ha senso cercare di limitarci senza motivo. Per cui, se non si incorre in contraddizioni (o almeno in significative difficoltà), si accetta l'estensione massima a cui si arriva.
E non ci sono motivi per escludere il caso 0°, nel senso che io, pur partendo da posizioni analoghe alle “vostre” mi muovo in modo da arrivare a definire 0° senza cadere in contraddizione: nella definizione GENERALE di potenza, se c'è una strada che porta più avanti, non rinunciando a niente, è SBAGLIATO sceglierne un'altra che si ferma prima.

Quindi il punto su cui sei chiamato a concordare è la terza definizione, non le prime due.
Però qualora tu arrivassi ad accettare la terza definizione, forse potresti riconoscere che di fatto è equivalente alle prime due, e la loro sintesi e “facilità” potrebbe convincerti a preferirle.

Alla terza seguono dei commenti che mi paiono significativi (per esempio il 3.12 mostra che con la posizione 0°=0 si avrebbe che una proprietà delle potenze non sarebbe sempre valida, per cui non si potrebbe accettare se si estendono gli esponenti ai numeri interi).


Comunque c'è anche la quarta definizione, quella in ambito insiemistico, che (per quanto mi risulta) è accettata da tutti. Questa definizione, coincide con quella “classica” (“la 3ª definizione”) in tutti i casi in cui entrambe sono definite, così ceh si considerano equivalenti, e in questa definizione risulta 0°=1. come si fa a conciliare le due cose, cioè che in ambito insiemistico 0°=1 e in ambiro “classico” 0° non è definibile? Ci vuole almeno una contraddizione in ambito classico, altrimenti si definisce 0°=1 anche senza altre dimostrazioni (cioè dovrebbe valere anche solo per “analogia).

Ci sono anche altri tipi di argomentazioni (per esempio la semantica: «che differenza c'è fra il prodotto di 0 fattori uguali a 3 e di 0 fattori uguali a 0?» - confronta i punti 6.4 e 4.6).

Le definizioni 1.1. e 2.1. e le proprietà 3.3. considerano accettabile la carta d'identità taroccata, ...

Sulle definizioni 1.1 e 2.1 ho appena concluso, mi pare non cisia altro da aggiungere, invece per le proprietà 3.3 non ho capito di cosa parli: non sono evidenti^, non valgono “sempre” (ovviamente per n,m>1, che però avrei fatto molto meglio a scrivere)?

2a parte: il concetto di limite esula talmente tanto in casi di discontinuità di questo ordine che manco mi ci soffermo.

Non ho capito. Per esempio il punto 5.2 mi pare semplice, capibile da chiunque, e SIGNIFICATIVO, almeno in un contesto in cui cerco di valutare IL CONCETTO di potenza, e non di “fare i calcoli”.

3a parte: essendo possibile (lo penso pure io, che credi! ) porre 0°:=1 i ragionamenti fatti sono validi. Ma per me 0°:=1 non 0°=1... come spesso è naturale che sia, così come altrettanto spesso è possibile che non lo sia.

1° Es. tracciare il grafico 0^x
Soluzione il grafico è coincidente con l'asse x posto 0°:=0

2° Es. tracciare il grafico x°
Soluzione il grafico è coincidente con la retta y=1 posto 0°:=1

3° Es. quanto fa (0^x+2)*(x°) per x app. ad R?

Fa ovunque 2 tranne che per x=0 nel qual caso fa un po' quel che pare all'operatore, in altre parole non è definito per x=0

Non conosco il simbolo “:=” .

Sì, ho capito che il limite di 0^x non è 1, ma se si accetta che 0^x è discontinua in 0 (cosa peraltro “vera”) non si incorre in contraddizione.

E la tua risposta «Fa ovunque 2 tranne che per x=0 nel qual caso fa un po' quel che pare all'operatore ...» suona molto preconcetta: quell' «ovunque» è solo per x>0, perché non è definita per x<0; e non è strano che se dopo addirittura non è definita, nel punto limite sia discontinua.












Per Daniela.

Mi sembra che anche con te debba cercare di essere più chiaro, forse è bene specificare alcuni presupposti.


Io non imposto il mio lavoro come «nella comunità dei matematici si fa così ...»
oppure «la definizione operativa è questa ...», cioè «per calcolare le potenze si deve operare così ...»,
oppure «oggi risulta più chiaro usare questo linguaggio ...».

Io cerco “la verità” (che molti reputano ontologicamente impossibile), voglio conoscere “la realtà” delle cose, cerco di evitare il più possibile “gli accidenti”, cioè l'influsso dei tempi, ricercando una matematica sempre più sintetica, che possa durare nei secoli, assai più della geometria degli antichi, che si è evoluta moltissimo, cambiando radicalmente la sua forma.

Certo, attirarsi l'accusa di presunzione è quasi scontato, ma io la ricerco lo stesso. Lo faccio presente per poterci comprendere meglio.

Poi, veramente, non voglio imporre anche agli altri questa visione, ma quando affermo che una proposizione segue naturalmente da un'altra, voglio che sia valutato questo concetto, non il fatto che “non piace” o “non si usa”.
Dopo di che resta tutta la libertà di scegliere quello che uno vuole, ma resta anche la realtà della coerenza e bellezza delle argomentazioni.

Chiamala potenza estesa, e poi fammi sapere in quali circostanze ha una qualsiasi utilita', fammi vedere un conto..... che permette di completare piu' velocemente o piu' efficientemente della definizione che usiamo tutti noi.

Vedi Daniela qui si evidenzia la nostra diversa impostazione: io cerco “che cosa è”, tu “quanto fa”. Ma poi magari l'esempio va :=per entrambi.

Per esempio (confronta il punto 6.7), nelle cosiddette “formule di Taylor” si usa l'espressione (x-x0)^n, il cui valore varia al variare di x, x0 ed n, e si trova anche il caso 0°.
Bene: per quanto conosco io TUTTI sanno che lì 0°=1, … forse anche senza bisogno di specificarlo! Ma anche se uno lo specifica, risulta “un po' strano” che se 0° non ha significato li si lasci questo simbolo.
Ma nello stesso punto ho scritto addirittura «Credo che in ogni ambito, dove può avere un significato il simbolo 00 , il suo valore debba essere
necessariamente 1
», e nel lavoro sul “prodotto esteso” (nei punti 16 e 17) lascio intendere che «poiché anche questo potrebbe essere un indizio significativo a favore “quanto sopra”, chiedo a chiunque trovi delle formule che non verificano “quanto sopra”, di
notificarmelo.
»

Riguardo a (-1)*(-1) non lo so se esistano insegnanti (la parola giusta sarebbe "mentecatti") che lo insegnano come una filastrocca...

Ho solo risposto a te, che avevi chiesto «Saresti capace di convincere un bambino, non un tuo studente a cui puoi dare "quattro", ma un ragazzino qualunque ...», per cui ho pensato che ti riferissi anche a insegnanti delle elementari e delle medie. Io penso che insegnanti che “informano” (per esempio che (-1)·(-1)=1) ci siano alle elementari, alle medie, e anche alle superiori … probabilmente anche all'Uniersità (probabilmente non a Matematica).
Comunque penso che TUTTI si insegnino dei concetti non motivati, magari se ce ne accorgiamo possiamo provare a correggerci, ma non è detto.

Per esempio io nella mia seconda non ho definito i numeri reali, ho solo cercato di fare intuire agli alunni che cosa sono, ma ho specificato in maniera forte che non si sono definiti. Così quando si è studiata la retta reale (geometria analitica) non abbiamo potuto definire come fissare un sistema di ascisse sulla retta (lo abbiamo fatto in maniera non formale), e analogamente per la definizione dei radicali.
Gli alunni sanno che se mi chiedono chiarimenti possono essere quai certi di trovarne, e qualcuno chiede, però non è così essenziale il formalismo per capire le cose ...

Riguardo al prodotto che puo assumere valori al di fuori dell'insieme.... un esempio che conosciamo tutti e' il "prodotto scalare" dei vettori, che prende due elementi di uno spazio vettoriale e restituisce un elemento del campo numerico che sta sopra lo spazio vettoriale.

Sì, non ci avevo pensato: se il prodotto scalare di due vettori è un'operazione che a due vettori associa uno scalare, cioè da VxV in S …
Ma allora il prodotto di uno scalare per un vettore è un'operazione non definita in un insieme …? Oppure è un'operazione unaria dall'insieme SxV in V …
Sì, le cose sono meno chiare di quello che ci si immagina (a parte 0°), e potrebbe essere che la cosa più naturale è il semplice abuso di notazione: le due operazioni sopra potrebbero non essere operazioni ...

Riguardo alla tua posizione al discorso sull'onere della prova, finora hai solamente mostrato che imporre 0^0:=1 non entra in contraddizione con niente (cosa che sapevamo gia', essendo indeterminato dalle strutture standard sugli insiemi numerici) ...

Non conosco il simbolo “:=”.
Non ho capito che cosa stai dicendo: che “0°=1” non porta a contraddizioni? Ti pare poco? Se estendi l'insieme di definizione, ottenendo che le proprietà “di prima” valgono senza alcun problema sull'insieme esteso, e se l'insieme esteso (come insieme) è “più significativo”, allora “secondo me” È DOVEROSO estenderlo. Se tu pensi di no fammi chiarezza.

...e che quindi si puo' definire una potenza estesa come dici tu, il che non e' pero' piu' utile che imporre 0^0:=69 o 0^0:=(il numero di godel per la proposizione falsa "AvB c A per ogni A, B") hai scritto pagine e pagine di pensieri ma neanche un calcolo costruttivo. Esibisci un calcolo dove "0^0 non e' determinato" si blocca mentre la definizione da te proposta permette di raggiungere risultati.

Continuo a non capire. Lo ho fatto in tutti i punti in cui ho parlati delle definizioni e dove si utilizza, per esempio:
Le “formule di Taylor”.
Nel fattoriale: mi sai dare una motivazione (diversa dal “funziona”) perché 0!=1 (credo che anche tu lo accetti).
E poi vedi i punti dopo il 23.

E nel punto 3.12 si mostra che se ponessimo 0°=0, negli interi si avrebbe che 0^(-0) avrebbe significato, mentre 1/(0^0) no, cioè non varrebbe la proprietà «a^(-n)=a^n».
Non parliamo poi di 0^0=69 …

A parte la tautologia di definire "0^0" e a parte semplificare eventuali espressioni di quel tipo (il che si attua in maniera standard e con molta piu efficienza passando a campi densi) io non ritengo che vi siano calcoli dove la tua definizione raggiunge risultati mentre quella di tutti gli altri si blocca; se ci sono esibiscili, se non ci sono.....

Non so cosa siano i campi densi.
Sono, per esempio quelle di prima. È chiaro che non si tratta di operazioni complicatissime e nuovissime, ma solo di avere in modo naturale (senza definizioni “ad hoc” e “cervellotiche) gli “1” quando ce ne è bisogno, per esempio in 0!, in Taylor, nel MCD, ...

[Daniela]

Verissimo non ho problemi con 0!=1 anche se questo avrei gravissimi problemi a spiegarlo a chi non ha una laurea in matematica o quasi. So perche' si fa questo, lo ho imparato alla seconda parte di "metodi matematici per la fisica", ma naturalmente a spiegare a un ragazzino cos'e' la gamma di eulero non saprei da dove cominciare. D'altra parte pero' non vedo a che cosa serva andare a calcolare fattoriali alle elementari o alle medie, e certamente non fattoriali di zero (possiamo immaginare qualcuno che studia statistica e simili ma non e' un matematico, che calcola dei fattoriali.... ma non fattoriali di zero.) Nel momento in cui ti insorge la necessita' di calcolare dei fattoriali di zero, questo stesso fatto mi dimostra che padroneggi la teoria delle funzioni meromorfe, e quindi verra' naturale comprendere perche' le cose stanno cosi', ne' piu' ne' meno come viene naturale comprendere che la funzione y=x^2 vale 9 nel punto x=3 a chiunque abbia un minimo di conoscenza delle funzioni reali di variabile reale, e che una definizione diversa non sarebbe desiderabile.
Mi dici che cerchi la verita', che mi sembra di capire nel tuo approccio "esista" in astratto e non viene costruita dal pensiero umano. Non discuto questo approccio che peraltro molti grandissimi matematici seguono, pero' vorrei chiederti, veramente tu pensi che possa esistere una verita' fine a se stessa? Una verita' slegata da ogni altra proposizione? Una verita' che non ci aiuta a costruire altre verita'? (non mi riferisco alla eventuale utilita' "pratica" che un concetto puo' avere o non avere, e peraltro anche quando questa esiste, tante volte si e' cercato un problema che si prestasse ad utilizzare l'elegante soluzione che avevamo! Pero' una verita' in tutti i casi che conosco genera e costruisce altre verita'.)
Le formule di Taylor sono definite ovviamente solo per x diverso da x0 e, se convergono, convergono in una maniera ben determinata sotto certe ipotesi! Inoltre le formule di Taylor non avrebbero alcun senso sui naturali o sugli interi, cosi' come non ha alcun senso il concetto di limite per x --> x0 dal momento che sui naturali con la topologia solita abbiamo un solo punto di accumulazione che e' il sup di N (che naturalmente non e' un elemento di N) sugli interi c'e' anche l'inf di Z. Se abbiamo un campo denso invece ogni suo punto e' un punto di accumulazione (es: Q, R, C...)
Non ho invece capito riguardo al MCD quale sarebbe l'utilita' di 0^0=1.

Riguardo ai ragazzini, sappiamo bene (noi che abbiamo alle spalle tanti anni di studio della matematica) che andiamo a definire gli insiemi numerici, i monoidi, la somma, proprio perche' non ci basta lavorare con le strutture di insieme. Quindi incominciamo col definire l'operazione di contare, la cardinalita', proprio perche' vogliamo passare dalle quantita' ai numeri, che ci permettono una astrazione e enormi potenzialita' che non potremmo mai neanche immaginare se ci limitiamo a manipolare dei mucchietti di blocchetti "sottoinsiemi" ecc, naturalmente questo al prezzo di divorziare dal concreto. Fin tanto che parliamo di somma, questa e' strettamente connessa all'unione di sottoinsiemi e quindi possiamo illuderci; ma gia' una "banale" moltiplicazione e' una operazione astratta e non e' facile da comprendere a fondo, naturalmente poi le sciocchezze che si leggono in tanti libri di scuola non aiutano. Quando parlo di prodotto ai bambini uso sempre un modello, una idea bellissima che non e' mia, me la ha insegnata una bambina di pochi anni. Che si immaginava 6x3 come sei signore che hanno tre bambini ciascuna. Naturalmente un modello non e' una teoria e una mappa non e' il territorio, ma una mappa e' impagabile per orientarsi e prendere confidenza con il territorio e poi non ci servira' piu'. Questo stesso modello lo uso quando si tratta di potenze. Naturalmente non sorprende in questo modello che 3^0=1, in quanto se abbiamo un albero genealogico di persone che ad ogni generazione hanno tre figli (e che si cercano dei coniugi fuori dalla famiglia) e' chiaro che la prima generazione sono tre fratelli, e che la generazione zero e' la singola coppia che li ha generati. Non sorprende neanche che tutte le potenze positive di zero siano nulle, a parte che solitamente il fatto che lo zero nullifica e' gia' stato assodato; si prende una signora che non esiste, di cui ce ne sono zero - di solito io parlo della dea Minerva, sappiamo bene che ne esistono zero - ovvio che anche i bambini di Minerva sono zero, cosi' come i nipoti, ecc ecc. D'altronde pero' nel mio modello non e' difficile pensare che 0^0 e' indeterminato: chi ha generato Minerva? Possiamo rispondere che e' stato giove ad averla partorita dalla testa e quindi fra gli sghignazzi si ammette che 0^0 puo' valere 0 visto che neanche giove esiste, possiamo pensare che sia stato un geniale scrittore di cui il nome sia andato perduto ma del tutto reale ed esistente e quindi vale 1, o che sia stato un gruppo di geniali scrittori che collettivamente come Bourbaki si sono inventati il tutto e quindi vale 12, o 70, o quello che e', ma il fatto che Minerva non esiste non mi dice niente sul fatto che il suo papa' possa esistere o quanti sono..... (Al contrario io faccio sempre notare che se uno che esiste ha sempre un solo papa', una persona che non esiste puo' anche averne duecento, ovvio no? non c'e' nessuna contraddizione a ipotizzare cio'.) Ripeto e' un modello, e la mappa non e' il territorio; pero' e' un modello che spiega a chiunque anche a un bambino piccolo perche' puo' essere utile definire la potenza e a che cosa serve. Tu definisci una potenza estesa, che anzi consideri preferibile quella consueta; in base a quale modello, a parte la considerazione estetica n^0=1 per ogni n?

Il simbolo := significa porre uguale per definizione. Per esempio quando io nel messaggio precedente vado a introdurre la somma negli interi, che non so cos'e', la definisco in termini di somma sui naturali; questa uguaglianza non e' una proposizione (vera o falsa) ma definisce un lato dell'uguaglianza in termini dell'altro lato.

Per quanto riguarda i vettori, uno spazio vettoriale si definisce sempre in termini di un gruppo additivo che interagisce con un campo. Quindi uno spazio vettoriale ha di nascita una serie di operazioni fra i quali quella che prende un elemento del campo e lo moltiplica per un elemento del gruppo dandoci un elemento del gruppo, quell'altra che prende due elementi del gruppo e ci da' un elemento del campo, e tutte queste si comportano bene. Poi il gruppo puo avere un suo prodotto interno e di solito ce l'ha, pero' se e' uno spazio vettoriale, per definizione ha attaccato un campo e ci interagisce in una certa maniera.

[Ivana]

[...]

[...] Quando parlo di prodotto ai bambini uso sempre un modello, una idea bellissima che non e' mia, me la ha insegnata una bambina di pochi anni. Che si immaginava 6x3 come sei signore che hanno tre bambini ciascuna. Naturalmente un modello non e' una teoria e una mappa non e' il territorio, ma una mappa e' impagabile per orientarsi e prendere confidenza con il territorio e poi non ci servira' piu'. Questo stesso modello lo uso quando si tratta di potenze. Naturalmente non sorprende in questo modello che 3^0=1, in quanto se abbiamo un albero genealogico di persone che ad ogni generazione hanno tre figli (e che si cercano dei coniugi fuori dalla famiglia) e' chiaro che la prima generazione sono tre fratelli, e che la generazione zero e' la singola coppia che li ha generati. Non sorprende neanche che tutte le potenze positive di zero siano nulle, a parte che solitamente il fatto che lo zero nullifica e' gia' stato assodato; si prende una signora che non esiste, di cui ce ne sono zero - di solito io parlo della dea Minerva, sappiamo bene che ne esistono zero - ovvio che anche i bambini di Minerva sono zero, cosi' come i nipoti, ecc ecc. D'altronde pero' nel mio modello non e' difficile pensare che 0^0 e' indeterminato: chi ha generato Minerva? Possiamo rispondere che e' stato giove ad averla partorita dalla testa e quindi fra gli sghignazzi si ammette che 0^0 puo' valere 0 visto che neanche giove esiste, possiamo pensare che sia stato un geniale scrittore di cui il nome sia andato perduto ma del tutto reale ed esistente e quindi vale 1, o che sia stato un gruppo di geniali scrittori che collettivamente come Bourbaki si sono inventati il tutto e quindi vale 12, o 70, o quello che e', ma il fatto che Minerva non esiste non mi dice niente sul fatto che il suo papa' possa esistere o quanti sono..... (Al contrario io faccio sempre notare che se uno che esiste ha sempre un solo papa', una persona che non esiste puo' anche averne duecento, ovvio no? non c'e' nessuna contraddizione a ipotizzare cio'.) Ripeto e' un modello, e la mappa non e' il territorio; pero' e' un modello che spiega a chiunque anche a un bambino piccolo perche' puo' essere utile definire la potenza e a che cosa serve. Tu definisci una potenza estesa, che anzi consideri preferibile quella consueta; in base a quale modello, a parte la considerazione estetica n^0=1 per ogni n?
[... ]

Guillermo Mariotto, laureatosi presso il College of Arts and Craft, a S. Francisco, e che è alla direzione artistica della celebre Maison Gattinoni, ieri sera, facendo parte della giuria del programma televisivo “Ballando con le stelle” ha commentato che “0” (da loro introdotto per la votazione della performance dei ballerini) è “un non numero”! Decisamente non sa ancora (oppure non ha accettato!) che lo zero è un numero in quanto lo zero fa parte dell'insieme dei naturali (almeno nell’assiomatica di Peano del 1898)…

Per quanto concerne la scuola primaria, personalmente introducevo, in classe quinta, la retta degli interi (come gioco dove gli alunni si divertivano ad eseguire addizioni e sottrazioni, (evitando determinate addizioni e sottrazioni) andando avanti e indietro su tale retta, ma mai ho introdotto la regola dei segni che sono convinta sia l’unica per la quale l’addizione e la moltiplicazione estese a Z continuano a godere delle stesse proprietà formali di cui godono le omonime operazioni già introdotte su N.

Per quanto riguarda il modello usato da Daniela, a me sembra che dalla prima generazione in poi si considerino solo i nuovi nati (cioè i nati alla prima generazione 3^1, i nati alla seconda generazione 3^2 ecc, ) mentre mi sembra che per la generazione zero si passi a considerare, non più i nuovi nati, ma la coppia (1 coppia) generatrice e già tale passaggio non mi convince…

Un caro saluto a tutti/e
Ivana

[Massimo]

@infinito,


sul 3° es. effettivamente ho errato. pardon!


":=" significa porre per definizione.


Diamo ordine alle cose. Parli tu stesso di non democrazia della matematica, giusto? Ebbene, allora non puoi dire che la tua definizione sia uguale a quella classica.
Non lo è manco se la maggioranza possa pensare che lo sia.
Chiamiamolo potenza estesa, ok?
Ebbene, il tuo obiettivo è trovare motivi per cui la matematica derivante da operazioni "estese" possa essere equiparata alla matematica classica, ok?

Spero con questo di aver archiviato la pratica uscita dall'ufficio complicazione pratiche semplici.

Tornando a noi.

La potenza estesa effettivamente è migliore della potenza classica perchè copre con un 1 un inelegante "non definito".

E' però altresì vero che ogni "non definito" possono essere posti con qualche definizione ad oc, è il Far West della matematica.

si pensi al fattoriale, si parlava di 0!
adesso non mi sovviene la definizione esatta di fattoriale. Supponiamo che sia valida solo per gli N+.
Poi si supponga che per una qualche applicazione mi conviene poter scrivere 0!:=0... Ebbene sappiate che non vedo alcun problema.


===============


Vorrei però tornare al prodotto esteso perchè forse nasconde una magagna.

Non vorrei però scrivere male matematicamente parlando quando parlo di anelli, gruppi, campi, monoidi ecc ecc e quindi abbiate pietà e cercate di comprendere la mia ignoranza.

Il prodotto è un'operazione con alcune proprietà che lega due elementi di due insiemi.
L'estensione a prodotto esteso è conseguente all'applicazione ripetuta delle proprietà e anteponendo il valore neutro.

Si è quindi fatto questo: abbiamo usato proprietà per definire un prodotto per cui esso ha ovviamente le proprietà.
La questione è quindi: questo sottoinsieme di definizioni di prodotti coincide effettivamente con la totalitarietà dei prodotti altrimenti definibili?
Cioè, perchè poi altrimenti non si capisce, quell'1 anteposto come fa riscrivere le proprietà delle strutture grezze di anelli, gruppi, campi...?

[Daniela]

Ivana: la bambina mi e' sembrata molto intelligente e oggigiorno i ragazzini sono svegli, ma parlare di riproduzione con i figli minorenni degli altri lo lascio fare ai loro genitori Non ho poi voluto andare a mettere in discussione un modello che si e' fatto lei; sappiamo che la matematica e' astratta "quasi per definizione" ma sappiamo anche che, almeno fino ai 13-14 anni, il cervello umano ha difficolta' a gestire concetti totalmente astratti (e il prodotto di due naturali e' in un certo senso piu' astratto della sottrazione 3-5, il bambino medio ha chiaro che se ieri c'erano tre gradi e oggi ci sono cinque gradi in meno di ieri, siamo sottozero e gli adulti alla guida fanno attenzione al ghiaccio sulle strade, e che se il primo del mese c'erano 3K sul conto corrente ma abbiamo avuto 5K di spese, il conto in banca e' in rosso e gli adulti preoccupatissimi perche' ci sono soldi da reperire al piu' presto....) Non ho quindi indagato piu' di tanto sui suoi pensieri, pero' trovo che il modello colga molto bene l'essenza della moltiplicazione e della potenza (per quanto un modello puo' farlo); naturalmente gli umani si riproducono per coppie e non per partenogenesi come le amebe le quali invece descriverebbero perfettamente le potenze di due (le cellule figlie velocemente evolvono in copie di quella originale, la quale e' peraltro scomparsa) pero' non mi risultano esseri che si riproducono per n-partizione, se non forse le talee, ma forse non e' esperienza comune fare i giardinieri in un vivaio o, almeno, io non ne capisco niente Questa sarebbe stata una modellizzazione migliore anche se naturalmente non e' possibile modellizzare in maniera pienamente adeguata il prodotto.... se no, non staremmo a costruire i numeri! e moltiplicheremmo quantita'.
PS ai maggiorenni, quando voglio evidenziare l'abissale differenza tra "numero" e "quantita'", racconto spesso la barzelletta dei ricercatori in treno

[infinito]

Ciao Daniela, devo dire che questo messaggio mi è piaciuto “moltissimo” più degli altri: forse stiamo davvero confrontandoci, invece di cercare di convincerci. E mi trovo molto meglio anche con il linguaggio che usi. Dipende da me o da te?
Non lo so, ma credo che questo non sia così importante … invece lo è continuare a farlo.

Guardiamo se è vero o è una mia impressione.

Verissimo non ho problemi con 0!=1 anche se questo avrei gravissimi problemi a spiegarlo a chi non ha una laurea in matematica o quasi. So perche' si fa questo, lo ho imparato alla seconda parte di "metodi matematici per la fisica"...

Anche qui credo che sia meglio, come ho fatto nel precedente post, cominciare con il chiarirsi che cosa intendiamo con “definire una potenza” e, soprattutto, con “estendere l'insieme di definizione”.

Dai vostri (vecchi) interventi mi sembra quasi che io vi abbia dato l'impressione che posso definire quello che mi pare come a me piace.

Ovviamente non è così. Quando ho una definizione data in un insieme ristretto (chiamiamolo “R”) e cerco se è possibile estenderla ad uno esteso (chiamiamolo “E”), cerco di vedere se le definizioni date in R possono essere estese “in qualche maniera” anche ad E.

Poi devo valutare le “conseguenze”, cioè quello che “perdo” (è importantissimo che le proprietà formali “portanti” restino valide) e quello che “acquisto” (sia per ciò che definisco, sia sulle caratteristiche di E), infine io credo che sia essenziale (ma qui siamo in un terreno “delicato, e se un uno mi dicesse che non concorda, potrei anche abbandonare del tutto l'argomento) dare anche un giudizio complessivo “estetico” …

Infine si devono valutare anche le “conseguenze generali”, cioè su tutto l'edificio matematico che uno “possiede”.


Nel caso specifico della potenza mi chiedo, come prima cosa, se è possibile estenderla anche a 0°.

SE AVESSI la definizione di potenza che definita solo per a^n con esclusione del caso a=0 e n=0, e cercassi di interpretare come estenderla a 0°; avrei “due strade” principali: parto da a^0, oppure parto da 0^n. Sembrano equivalenti? A me no, ma mi rendo conto che questa mia idea non è sufficientemente forte (però nel precedente post ho ricordato che ponendo 0°=0 incorro in un problema nella successiva estensione di N a Z).
Ma il fatto è che mentre definisco la potenza, cioè quando definisco a^0, non mi trovo MAI nella NECESSITÀ di dover porre a diverso da 0, e se dovessi valutare se farlo o meno OVVIAMENTE opterei per il “No”.
Questo ragionamento è stringente, e sicuramente sufficiente per porre che 0°=0: solo una contraddizione o una perdita di proprietà derivante da questa posizione motiverebbe un possibile ripensamento.

Condividi questa prima argomentazione? Mi pare semplicissima e senza alcuna problematica aggiuntiva rispetto a quello che si insegna OGNIQUALVOLTA introduciamo le potenze, anzi: sicuramente si elimina la problematica di dover escludere e motivare il caso 0°.
Ripeto: l'eliminazione di 0° è totalmente preconcetta, SEMPRE.

….

Infine quando vado a vedere le “conseguenze generali”, mi chiedo perché con l'idea che io ho di a^n si può arrivare ad avere 0^0=1. Cioè: se ho l'idea che la potenza è una semplice moltiplicazione ripetuta, come è possibile che si arrivi a a°=1? Forse questa è un'idea parziale o semplicistica? C'è una diversa interpretazione di intendere la potenza, in modo che tutte le sue proprietà ne siano una banale conseguenza (applicazione)?
Cerco questa interpretazione, ….
… ed infine arrivo a capire che il prodotto di zero fattori è “necessariamente”, “sempre”, ecc. l'elemento neutro del prodotto, cioè arrivo al concetto di “prodotto esteso”.

Poi vado a vedere le conseguenze, e se valuto le altre definizioni dove si parla di prodotto di più fattori guardo che cosa succede nel caso di 0 fattori, per esempio nel fattoriale (punto 24): «Fattoriale: n! È il prodotto dei primi n numeri naturali positivi» senza altre precisazioni,
quindi 1!=1 e 0!=1 .


Se invece tu dai una definizione in un ambiente (per esempio i numeri naturali) e poi devi scomodare tutta una teoria estremamente più complessa per arrivare a capire una cosa “elementare” è brutta, non mi soddisfa.

(In questo punto parlo di cose che conosco molto poco, lo faccio perché penso che possa aiutare a chiarire, ma non garantisco di non stare dicendo enormi sciocchezze.)
Anche nella meccanica quantistica ci sono state (e ci sono ancora) diverse cose “vere” solo perché l'evidenza sperimentale le giustifica, ma questo mostra abbastanza chiaramente la necessità di reinterpretare il tutto, di una visione nuova.
La bellezza della relatività (lo dico di quella ristretta, la generale la conosco davvero troppo poco) sta anche nel fatto che con poche ipotesi intepretative (principalmente che la luce ha velocità costante) si arriva a costruire il modello della realtà quasi come un “giochetto matematico”. Quell'interpretazione così semplice ha permesso di sviscerare l'argomento molto ma molto più velocemente e molto più profondamente di come è avvenuto nella meccanica quantistica. E soprattutto necessitando di un numero di dati sperimentali “risibili” al confronto di quelli per la meccanica quantistica (praticamente solo la costanza della velocità delle luce, per produrre la teoria, e poi le varie esperienze a conferma delle “stranissime” conclusioni della relatività).

Mi dici che cerchi la verita', che mi sembra di capire nel tuo approccio "esista" in astratto e non viene costruita dal pensiero umano. Non discuto questo approccio che peraltro molti grandissimi matematici seguono, pero' vorrei chiederti, veramente tu pensi che possa esistere una verita' fine a se stessa? Una verita' slegata da ogni altra proposizione? Una verita' che non ci aiuta a costruire altre verita'? (non mi riferisco alla eventuale utilita' "pratica" che un concetto puo' avere o non avere, e peraltro anche quando questa esiste, tante volte si e' cercato un problema che si prestasse ad utilizzare l'elegante soluzione che avevamo! Pero' una verita' in tutti i casi che conosco genera e costruisce altre verita'.)

«veramente tu pensi che possa esistere una verita' fine a se stessa? Una verita' slegata da ogni altra proposizione?»
Aspetta, io penso che esista una verità (anzi, anche una Verità), ma questo non vuol dire che non sia in relazione con altre (tutte le altre) verità, che possa servire a renderci più coscienti, che possa essere usata (anche stravolta), ecc.
Esempio; un albero è il simbolo della vita, della durata, della saggezza, ecc.
Ma è anche bello a vedersi, ci rende l'aria respirabile, ci da cibo, ci fa ombra.
Ma si può anche tagliare per farci dei mobili, o semplicemente per bruciarlo e scaldarci,
oppure perché non ci piace in quel posto.
E tutto questo è vero, ci è lecito: è lecito tagliare il simbolo della vita, che ci nutre, solo perché abbiamo freddo o vogliamo avere un prato per giocare a pallone.
Non c'è contraddizione: la vita è più ricca e belle di quello che noi pensiamo e schematizziamo.
(Non so se ho capito bene la tua domanda, io ho risposto per quello che posso a quello che ho capito.)

Le formule di Taylor sono definite ovviamente solo per x diverso da x0 e, se convergono, convergono in una maniera ben determinata sotto certe ipotesi!

Non mi risulta: per quello che ne so io nelle “formule di Taylor” dove (dopo le opportune sostituzioni) compare il simbolo 0° si ha il valore 1, senza ulteriori discussioni.
Se tu sai che non è vero mi puoi dire in quali casi non è verificato?

Inoltre le formule di Taylor non avrebbero alcun senso sui naturali o sugli interi, cosi' come non ha alcun senso il concetto di limite per x --> x0 dal momento che sui naturali con la topologia solita abbiamo un solo punto di accumulazione che e' il sup di N (che naturalmente non e' un elemento di N) sugli interi c'e' anche l'inf di Z. Se abbiamo un campo denso invece ogni suo punto e' un punto di accumulazione (es: Q, R, C...)

Se tali formule sono vere in un insieme, sono vere su ogni suo sottoinsieme, quindi anche sui naturali.
Per dimostrarle si fa uso dei concetti di limite, ma sono valide anche sul discreto.

Non ho invece capito riguardo al MCD quale sarebbe l'utilita' di 0^0=1.

Qui ho introdotto una definizione “operativa”, di quelle che piacciono a te.
La definizione di MCD é: «In N il MCD di un insieme A di numeri (monomi, polinomi, …) è il massimo divisore comune degli elementi di A», cioè il più grande fra i numeri che siano divisori di tutti gli elementi di A.
Però spesso si da anche una definizione operativa, che si può mettere nella forma del punto 26: «Massimo Comun Divisore (definizione “operativa”): Il MCD di un insieme finito di numeri naturali è il prodotto delle massime potenze di numeri primi che sono loro divisori comuni».
Il “problema” è: «C'è il prodotto se non ci sono divisori primi comuni?»
Secondo voi ovviamente no, per cui alla definizione operativa si dovrebbe correggere in qualcosa del tipo:
«Massimo Comun Divisore (definizione “operativa”): Il MCD di un insieme finito di numeri naturali è il prodotto delle massime potenze di numeri primi che sono loro divisori comuni se questi sono almeno due, se ce ne è solamente una è la potenza stessa, se non ce ne sono è il numero 1».
Invece con il concetto VERO di prodotto ripetuto non c'è da “correggere” niente, ho già il concetto vero: è ovvio che se ne ho uno solo è lui, e se non ne ho il prodotto è l'elemento neutro 1.

Riguardo ai ragazzini ...

Io penso che si possa parlare di tutto a tutti, ma nel modo adatto. A scuola parlo pochissimo delle fisica moderna (moderna? Ha più di un secolo, un quarto della vita di tutta la fisica che insegniamo …), ma non perché non si possa, ma solo perché la conosco poco. Anche quando parlo della banale “F=ma” potrei scomodare integrali e formulone varie, seguendo i ragionamenti di Newton, ma se ne può parlare anche in modo più semplice, addirittura se ne può parlare alle elementari, e sono convinto che diversi bambini capirebbero il senso di quella formula.
Si può adattare ai discenti quasi qualunque concetto, chiarendo le semplificazioni e le approssimazioni che si sono fatte, senza dire falsità.

Quando parlo di prodotto ai bambini uso sempre un modello, una idea bellissima che non e' mia, me la ha insegnata una bambina di pochi anni. Che si immaginava 6x3 come sei signore che hanno tre bambini ciascuna. … Questo stesso modello lo uso quando si tratta di potenze. Naturalmente non sorprende in questo modello che 3^0=1, in quanto se abbiamo un albero genealogico di persone che ad ogni generazione hanno tre figli (e che si cercano dei coniugi fuori dalla famiglia) e' chiaro che la prima generazione sono tre fratelli, e che la generazione zero e' la singola coppia che li ha generati. Non sorprende neanche che tutte le potenze positive di zero siano nulle, a parte che solitamente il fatto che lo zero nullifica e' gia' stato assodato...

Ivana ha già detto che il tuo ragionamento non è convincente, io chiarisco che è sbagliato.
Ma finalmente abbiamo, se non proprio una definizione, un'idea da cui partire per definire le potenze e poter vedere se è proprio vero che anche in questo modo sarà evidente che 0°=1.

Ovviamente mi aspetto che se lo sarà anche a partire dal tuo “modello” di potenza, cercherai di riguardare la possibilità che davvero 0°=1 cercando di non essere cos' ancorata a quello che io chiamo “puro preconcetto”.

Vediamo se di convince la definizione di a^n:

- supponiamo che tutte le donne (o “gli uomini” - ho messo le donne perché non volevo accuse di maschilismo …) del nostro universo abbiano a figlie (femmine);

- supponiamo che al livello zero si abbia una sola donna D;

- si definisce a^n il numero delle donne (femmine) della nª generazione discendenti da D .

Se le cose ci convincono: bene, si prosegue; se non ci convincono vediamo di cambiare le definizioni, ma che rispettino le tue idee e affermazioni, in particolare che 3^1=3 e 3^0=1.

Dato per scontato che quello che ho scritto sopra è convincente (dovrebbe esserlo) si guarda che cosa succede per 3^n. Si sa che tutte le donne hanno 3 figlie, quindi D ha 3 figlie, ognuna delle quali ha 3 figlie, ognuna delle quali ha 3 figlie. Ovviamente si ha che 3^3=27, 3^2=9, 3^1=3 e 3^0=1, come già si sapeva.

E poi per lo zero. Si sa che tutte le donne hanno 0 figlie, quindi D ha 0 figlie, ognuna delle quali (ma non cene sono) ha 0 figlie, ognuna delle quali ha 0 figlie. Ovviamente si ha che0^3=0, 0^2=0, 0^1=0 e 0^0=1, “come già si sapeva”.
Sì, perché il numero delle donne della generazione 0 è 1, c'è D .




Però visto che mi hai dato la tua definizione (l'idea, che ho solo interpretato in modo da non dover scartare il caso 0°), ne approfitto per farmi un'idea anche su possibili altre generalizzazioni.

Comincio con estendere la base.

Mi chiedo allora se ha senso definire 2,5^3.
Certo non posso pensare che ogni donna abbia 2,5 figli, dovrei cambiare l'esempio, ma lasciando l'idea. Io opto per continuare a parlare di figli, sperando che si sia in grado di capire lo stesso la realtà del concetto che sta “sotto”.

È “chiaro” che 2,5¹ = 2,5 , e anche che 2,5²=6,25 (perchè se ogni donna ha 2,5 figli, allora 2 donne ne hanno 5 e 0,5 donne ne hanno 1,25 , cioè in totale 6,25), ecc.

A che mi servono le basi razionali? Per poter introdurre le potenze negative.

Mi chiedo: «che senso può avere una potenza negativa, per esempio a^(-2)?»
Mi sembra evidente che «dovrebbe essere il numero di donne di due generazioni prima».

Facciamo una prova: 3^(-1) è il numero di donne da cui dopo 1 generazione è venuta D, qundi, ovviamente 1/3 di donna.

E 3^(-2)=1/9, infatti, se ogni donna genera 3 donne, 1/9 di donna genera 1/3 di donna, e questo genera 1 donna.

Mi rendo conto che potrei estendere in modo banale il concetto di potenza a basi anche reali (e complesse …), ovviamente non considerando realmente le donne, parlo del concetto.
Ma non è assolutamente la stessa cosa per l'esponente: estenderne l'insieme è tutto un altro tipo di “operazione”.



A questo punto possiamo studiare anche le potenze del tipo 0^n .
Se n>0 si è visto che 0^n=0 .
Se n=0 si è visto che 0^0=1 .
Se n=-1 mi chiedo: quante donne “sterili” hanno partorito D, e la risposta è evidente: la domanda non può avere una risposta numerica, cioè «Con le nostre ipotesi l'espressione 0^(-1) non ha significato».
Analogamente per tutti gli n<0 .


Mi pare che il tuo esempio possa davvero essere chiarificatore, e si capisce bene anche come possa essere così diverso il caso 0°, rispetto a 0^n con n positivo, visto che è davvero un “caso limite”.

Il simbolo := significa porre uguale per definizione.

Ah, sì, l'avevo trovato, grazie (ho un memoria spesso scarsa).

":=" significa porre per definizione.

Ti ringrazio.

Ebbene, il tuo obiettivo è trovare motivi per cui la matematica derivante da operazioni "estese" possa essere equiparata alla matematica classica, ok?

No, questa è una posizione decisamente riduttiva. Io cerco di capire quello che “È” vero, non che gli altri accettino le mie idee. In questo caso si hanno delle idee “sbagliate” o “parziali”, e io vorrei che, come comunità umana (di matematici) si ricercasse la nostra educazione, nello specifico vorrei che il concetto di “operazione ripetuta” (la generalizzazione di “prodotto esteso” ) fosse un concetto di base, anteriore a quello specifico di “prodotto”.
Cioè se si avesse il concetto di “operazione ripetuta”, quando abbiamo il concetto di prodotto fra DUE numeri reali, si potrebbe definire le potenze con la semplice definizione (vedi punto 1.1) «a^n è il prodotto di n fattori uguali ad a», senza alcuna altra precisazione.

Capisci che non è la stessa cosa, assolutamente no.

Questa è una definizione enormemente più bella di tutte quell'altre che date voi, con tutta la casistica e le esclusioni (immotivate), che vi fuorvia e non ve ne fa cogliere l'essenziale.

E se la definizione “figlia” è così bella, e lo sono tante altre derivate, come deve essere “bella” ed “essenziale” l'origine, la definizione di “operazione ripetuta”?

E' però altresì vero che ogni "non definito" possono essere posti con qualche definizione ad oc, è il Far West della matematica.

Aridaje … Non “ho dato una definizione”, ma “ho visto che è così”. E se chiunque vede “QUELLO CHE È” non c'è alcun Far West.

si pensi al fattoriale, si parlava di 0!
adesso non mi sovviene la definizione esatta di fattoriale. Supponiamo che sia valida solo per gli N+.
Poi si supponga che per una qualche applicazione mi conviene poter scrivere 0!:=0... Ebbene sappiate che non vedo alcun problema.

Credo che NESSUNO si sia mai sognato di non porre 0!=1, perché in tutte le formule dove si usa (e sono tantissime) è sempre, inequivocabilmente 1 . Solamente che non ho mai trovato alcuna giustificazione nemmeno “quasi accettabile”, se non che “funziona”.
Capisci che questa cosa è davvero brutta? E pensa che con il prodotto esteso tutto si presenta con la stessa naturalezza della potenza.

Vedi la risposta sopra Daniela.
Devo dire che lei ha scritto che con la gamma di Eulero si da una spiegazione del perché 0!=1 . Io non mi ricordo bene, ma ho qualche dubbio che non si parta con il “dato di fatto” che 0!=1, per poi ritrovarselo in fondo, senza incorrere in contraddizioni, ma non mi ricordo granché, e comunque è chiaro che anche se non fosse vero la sostanza non cambierebbe di molto.

Non vorrei però scrivere male matematicamente parlando quando parlo di anelli, gruppi, campi, monoidi ecc ecc e quindi abbiate pietà e cercate di comprendere la mia ignoranza.

Non ti preoccupare: se uno dice che una cosa non la conosce bene non vedo motivo di doverglielo ripetere.

Il prodotto è un'operazione con alcune proprietà che lega due elementi di due insiemi.
L'estensione a prodotto esteso è conseguente all'applicazione ripetuta delle proprietà e anteponendo il valore neutro.

Si è quindi fatto questo: abbiamo usato proprietà per definire un prodotto per cui esso ha ovviamente le proprietà.
La questione è quindi: questo sottoinsieme di definizioni di prodotti coincide effettivamente con la totalitarietà dei prodotti altrimenti definibili?
Cioè, perchè poi altrimenti non si capisce, quell'1 anteposto come fa riscrivere le proprietà delle strutture grezze di anelli, gruppi, campi...?

Non ti ho seguito molto bene, però:

se io “estendo” significa che sulla parte comune si hanno le stesse proprietà, quindi lì non riscrivo niente. Però nel caso della potenza, voi l'avete definita su un sottoinsieme dei naturali, io sui naturali (a mio parere c'è una bella differenza).

L'espressione 0° è usata in alcuni contesti (vedi formule di Taylor), e “io ce l'ho e tu no”.

Questa espressione, come generalizzazione di prodotto, sarebbe “il prodotto di 0 fattori”, cosa che per voi non ha senso, come non lo ha “il prodotto di 1 solo fattore”, invece per me lo ha, e lo ho definito nel “prodotto esteso”.
Così ogni volta che è presente il concetto di prodotto esteso (che è un concetto VERO, quindi si trova nel concreto della matematica) io lo presento dicendo “prodotto esteso”, voi invece dovete dire il vostro “prodotto”, poi presentare il caso corrispondente al prodotto di un solo fattore e poi quello di zero fattori.
Come se non bastasse, vista la complessità, a volte non riuscite a gestirla bene, e prendete delle cantonate, come nel caso di 0°.
E questa cantonata, gestita con l'attaccamento ai “vecchi concetti” (o “preconcetti”) spesso impedisce anche di vedere cose che sarebbero naturali, come il “prodotto esteso”. Anche io ci ho messo anni a trovarlo, nonostante in parte lo abbia inconsciamente sempre usato, e devo dire grazie a voi per avermi “obbligato” a formalizzarlo.
Ora vorrei che divenisse uno dei concetti basilari, come lo sono diventati “insieme” o “relazione”.