Prodotto o non prodotto?
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Prodotto o non prodotto?
Supponiamo di avere soltanto un foglio
di carta e una matita. Nessun computer,
nessuna calcolatrice.
Supponiamo, ancora, che sopra il foglio
sia stato scritto questo numero:
36060036.
E' possibile dire se possa o meno essere
uguale, in via preliminare, al prodotto di
quattro numeri interi consecutivi?
di carta e una matita. Nessun computer,
nessuna calcolatrice.
Supponiamo, ancora, che sopra il foglio
sia stato scritto questo numero:
36060036.
E' possibile dire se possa o meno essere
uguale, in via preliminare, al prodotto di
quattro numeri interi consecutivi?
Bruno
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La cifra delle unita' di quel numero e' 6, questa sara' uguale alla prima cifra del prodotto delle cifre delle unita' dei 4 numeri (piu' difficile a capire che a spiegare)
di sicuro tra i 4 numeri nessuno finisce per 0 (se no il risultato finirebbe per 0) ho questi casi:
1*2*3*4=2*12=(considero solo le unita')=4
2*3*4*5=6*20=(considero solo le unita')=0
3*4*5*6=12*30=(considero solo le unita')=0
4*5*6*7=20*42=(considero solo le unita')=0
5*6*7*8=30*56=(considero solo le unita')=0
6*7*8*9=42*72=(considero solo le unita')=4
nessuna finisce per 6, quindi quel numero non puo' essere prodotto di 4 interi consecutivi
giusto?
di sicuro tra i 4 numeri nessuno finisce per 0 (se no il risultato finirebbe per 0) ho questi casi:
1*2*3*4=2*12=(considero solo le unita')=4
2*3*4*5=6*20=(considero solo le unita')=0
3*4*5*6=12*30=(considero solo le unita')=0
4*5*6*7=20*42=(considero solo le unita')=0
5*6*7*8=30*56=(considero solo le unita')=0
6*7*8*9=42*72=(considero solo le unita')=4
nessuna finisce per 6, quindi quel numero non puo' essere prodotto di 4 interi consecutivi
giusto?
Pi greco
Bravo, Pigreco
E se il numero fosse questo, invece:
36060084 ?
Oppure questo: 36060384 ?
Con uno stesso metodo possiamo
"smascherare" tutti i numeri finora
scritti
E se il numero fosse questo, invece:
36060084 ?
Oppure questo: 36060384 ?
Con uno stesso metodo possiamo
"smascherare" tutti i numeri finora
scritti
Ultima modifica di Br1 il mar giu 12, 2007 3:24 pm, modificato 5 volte in totale.
Bruno
Fra i quattro interi consecutivi ci devono essere due numeri pari, uno dei quali multiplo di 4.
Il numero dovrebbe essere quindi divisibile per 8, proprietà che si può facilmente vedere non essere rispettata.
(credo )
Il numero dovrebbe essere quindi divisibile per 8, proprietà che si può facilmente vedere non essere rispettata.
(credo )
Franco
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
Ottimo, Franco!
36060084 può essere liquidato certamente
in questo modo.
Mentre tu rispondevi, stavo aggiungendo
nel mio precedente post un altro numero,
proprio per includere anche i multipli di
8.
Dunque, possiamo dire con sicurezza che
36060384 non può equivalere a un prodotto
del tipo indicato e così pure 615288624.
E' un problema davvero simpatico e porta
via poco tempo
36060084 può essere liquidato certamente
in questo modo.
Mentre tu rispondevi, stavo aggiungendo
nel mio precedente post un altro numero,
proprio per includere anche i multipli di
8.
Dunque, possiamo dire con sicurezza che
36060384 non può equivalere a un prodotto
del tipo indicato e così pure 615288624.
E' un problema davvero simpatico e porta
via poco tempo
Bruno
Aggiungo solo una cosa
Un numero che è prodotto di quattro interi consecutivi e che non è multiplo di 5 termina sicuramente con la cifra 4.
Infatti le congruenze modulo 5 dei quattro interi consecutivi devono essere 1,2,3,4, e il prodotto 1*2*3*4 fa 24.
Ollà.
Un numero che è prodotto di quattro interi consecutivi e che non è multiplo di 5 termina sicuramente con la cifra 4.
Infatti le congruenze modulo 5 dei quattro interi consecutivi devono essere 1,2,3,4, e il prodotto 1*2*3*4 fa 24.
Ollà.
"Oh! But I have been blind- blind. Complex, I have said?
Complicated? Mais non. Of a simplicity extreme - extreme.
And miserable one that I am, I saw nothing - nothing."
(Peril At End House)
Complicated? Mais non. Of a simplicity extreme - extreme.
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In questo caso non si può utilizzare il metodo descritto da Franco, in quanto 36060384 è divisibile per 8.Br1 ha scritto:
Oppure questo: 36060384 ?
Tra l'altro 36060384 è anche divisibile per 3, quindi è inutile far notare che il prodotto di quattro numeri consecutivi è sempre divisibile per 3.
Consideriamo il prodotto di quattro numeri consecutivi: (a+1)*(a+2)*(a+3)*(a+4)
Se il prodotto non è divisibile per 5 significa che a è divisibile per 5.
Siccome 36060384 non è divisibile per 5, se fosse uguale ad: (a+1)*(a+2)*(a+3)*(a+4) avremmo che a dovrebbe essere divisibile per 5.
(a+1)*(a+2)*(a+3)*(a+4) =${\rm a}^{\rm 4} {\rm + 10*a}^{\rm 3} {\rm + 35*a}^{\rm 2} {\rm + 50*a + 24}$
Se a è divisibile per 10, abbiamo che:
${\rm a}^{\rm 4}$ è divisibile per 100
${\rm 10*a}^{\rm 3}$ è divisibile per 100
${\rm 35*a}^{\rm 2}$ è divisibile per 100
${\rm 50*a}$ è divisibile per 100
Dunque ${\rm a}^{\rm 4} {\rm + 10*a}^{\rm 3} {\rm + 35*a}^{\rm 2} {\rm + 50*a + 24}$ finisce per 24
Se a non è divisibile per 10 significa che l'ultima cifra di a è 5 (visto che a deve essere divisibile per 5),
abbiamo che:
${\rm a}^{\rm 4}$ finisce per 25
${\rm 10*a}^{\rm 3}$ finisce per 50
${\rm 35*a}^{\rm 2}$ finisce per 75
${\rm 50*a}$ finisce per 50
Dunque ${\rm a}^{\rm 4} {\rm + 10*a}^{\rm 3} {\rm + 35*a}^{\rm 2} {\rm + 50*a + 24}$ finisce per 24
Siccome 36060384 non è divisibile per 5 e non finisce per 24, non può essere il prodotto di quattro numeri interi consecutivi
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Br1 ha scritto:
Dunque, possiamo dire con sicurezza che
36060384 non può equivalere a un prodotto
del tipo indicato e così pure 615288624.
E' un problema davvero simpatico e porta
via poco tempo
In modo analogo al mio messaggio precedente si dimostra che:
se un numero non è divisibile per 5 e non finisce per 024, non può essere il prodotto di quattro numeri interi consecutivi
Ottimo ottimo ottimo
Anche in questo caso allego la mia idea e chissà...
potrebbero ben esserci altre vie risolutive
Anche in questo caso allego la mia idea e chissà...
potrebbero ben esserci altre vie risolutive
Bruno