L'età della moneta più vecchia.

[Jumpy94]

Propongo qui di seguito un problema della rivista Rudy Matematici (alla quale sono registrato, ma anche sforzandomi, mai sono riuscito a risolvere un solo problema ) il quale da loro viende definito "facile", quasi per loro "irrisorio":shock: . La prima volta che ho letto il problema, ho pensato subito che non c'è un limite di età.....ma sono certo che mi sbaglio.......sarebbe troppo semplice per una rivista come questa.

[delfo52]

ho letto anche io il problema, e benchè sia un appassionato cultore della vita e delle opere di sir Isaac, mi sono trovato in perplessità.
il fatto che ci siano fin dal primo anno di intervento delle monete "usate" in quantità non nota e verosimilmente non coeve, rende lo scenario alquanto instabile.
Coniare ogni anno un milione di pezzi e distruggere un decimo delle monete esistenti, mi pare che porti (tenda?) ad un parco-monete di 10milioni di pezzi
resta da intendersi su come vengono selezionate le monete da distruggere: in modo casuale, o si eliminano le più vecchie?
Nel secondo caso, quando saremo giunti ad avere in giro 10milioni di pezzi, saranno i dieci milioni coniati negli ultimi dieci anni.
Se invece, ogni volta vengono buttate via un decimo delle monete, in modo random, ne andranno distrutte anche alcune coniate da solo dodici mesi, e, per poche che siano, alcune monete vecchie e stravecchie resisteranno in circolo, almeno teoricamente fino a che il numero delle eliminazioni non sarà tale che la percentuale spettante alle monete più vecchie si sarà ridotta a meno di un intero. Ma per questo genere di ragionamenti e calcoli, è necessario sapere la distribuzione di età del parco monete circolante all'inizio.
SE&O

[jepa]

Potremmo seguire questa ipotesi che è una delle interpretazioni.
Al primo anno si coniano un milione di monete e non se ne distrugge visto che chiaramente sarebbero le prime.
Al secondo anno avremo 1 milione di nuove monete e 0,9*1.000.000 di quelle "vecchie"
Al terzo anno si avrà 1 milione di nuove monete e 0,9*(1.000.000+900.000) vecchie monete. O meglio 1 milione di monete nuove, 900.000 monete che hanno 1 anno e 810.000 monete che ne hanno 2. Questo chiaramente ipotizzando che le monete vecchie vengano distrutte proporzionalmente alle loro quantità residue.
Sotto questa ipotesi ponendo a=1.000.000, all'anno n noi avremo questo parco di monete:
a0+a1*0,9+...+an*0,9^n
Dove il gruppo di monete indicato con an rappresenta le monete create al primo anno.
Pertanto ipotizzando di avere all'anno n una sola moneta residua relativa al primo gruppo,dovremo avere
an*0,9^n=1
e quindi 0,9^n=1/1.000.000
Da cui si può ricavare n=131 anni.
Questa è una interpretazione, ma in effetti le possibilità sono diverse.

[Jumpy94]

E se due gruppi a0.9^k si scabiassero un moneta????
_______________________________________


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Voglio dire che i singoli gruppi a0.9^k devono essere considerati come "facenti parte del tutto", per cui è perfettamente plausibile che una moneta del primo gruppo (del primo anno) "a", che poi può far parte di a0.9 del secondo anno, possa passare al nuovo gruppo "a" ovvero ------>guardate la figura sotto <------(poiché concetti astratti, è meglio dare all'occhio ciò che gli spetta!)(Scusate la rappresentazione improvvisata ma paint non è Jasc Paint Shop Pro!!).
Quelle chiazze rosse che tendono a delle frecce stanno ad indicare i passaggi della moneta che fa parte del primo gruppo n (ah...dimenticavo, n indica il numero di monete che nel problema è 1000000) al gruppo 0.9n (questo ammesso che non venga "distrutta").Ora la moneta di quest'ultimo gruppo può tranquillamente passare al gruppo n (freccietta rossa) e quindi dal gruppo n viene tolta una moneta che passa a 0.9n. Facendo così e ammesso che la stessa moneta non venga distrutta, questa camperà fino alla fine dei tempi.....oppure fino a quando la Reale Zecca non chiuderà i battenti




Ciaoooooooo!!!

[Sancho Panza]

Ciao Jumpy94,
riguardo a questa discussione su un problema di "Rudi Mathematici" ho due cose importanti da dirti:

1) La prima cosa è che mi pare che sarebbe preferibile evitare di inserire il testo del problema del mese corrente sul Forum, in quanto ciò non mi pare corretto verso gli altri lettori di questa rivista. Intendo dire che qualcuno potrebbe inserire la soluzione togliendo in tal modo agli altri il gusto di risolverlo da soli. Tieni conto ad esempio che Jepa ti ha fornito una soluzione (quasi) valida.
Ti concedo la scusante di averlo inserito alla fine del mese, quando probabilmente tutti i lettori di RM già hanno spedito la loro soluzione alla rivista; ma ti consiglierei per il futuro di evitare di fare una cosa simile.

2) La seconda cosa è che ho comunque apprezzato quanto hai scritto ed avendo capito che tu hai problemi di interpretazione del testo dei problemi, ti avevo scritto un messaggio per offrirti il mio aiuto per interpretare il problema del prossimo mese (sono sicuro che se ti risulta più chiaro cosa chiede il problema hai buone probabilità di riuscire a risolverlo ed anche di vedere la tua soluzione pubblicata il mese seguente sulla rivista).
Ma noto che tu non hai ancora letto il mio messaggio, presumo dunque che tu non sappia come funziona il sistema per inviarsi i messaggi.
Ti riporto quindi qui sotto un disegno che ti mostra dove devi cliccare con il mouse se vuoi leggere il mio messaggio....

[Jumpy94]

Mi vergogno della mia azione ma assolutamente non l'ho fatta per il fine personale di mandare la soluzione pubblicata da un basecinquino alla rivista Rudy Matematici, ci tengo a dirlo perché per me (ma per chiunche nutre qualcosa per la matematica) sarebbe stato vile.

Successivamente devo ringraziare (ma è poco) Sanco Panza che oltre a riprendermi, giustamente, per ciò che ho fatto, si è mostrato intenzionato ad aiutarmi alla conprensione dei testi dei problemi (che non posso negare di avere difficolatà). Scusate ancora, ma molte volte non bado agli effetti delle mie azioni (uno dei difetti più gravi che ho).

[Sancho Panza]

Ci tengo a sottolineare che non ho mai pensato che Jumpy94 abbia inserito questo problema nel Forum per farselo risolvere da qualcun altro.
Ho voluto semplicemente segnalare il rischio di un cattivo uso del Forum, in quanto se viene inserito un problema nel Forum è abbastanza probabile che qualcuno provi a risolverlo.
Ritengo pertanto che sia sempre preferibile evitare di inserire problemi "recenti" di altri Forum, di altri siti internet, di riviste di matematica o di compiti di scuola.

Tra l'altro io credo che il problema vero di Jumpy94 sia solo la sua difficoltà di comprensione del testo del problema, ma che una volta capito cosa deve fare sia perfettamente capace di risolvere anche problemi difficili; gli auguro pertanto di avere presto una sua soluzione pubblicata su "Rudy Mathematici"

Riguardo infine a questa rivista, volevo segnalare quanto riporta in una nota di pagina 6 del numero di febbraio:
"Base Cinque, (...) è un sito che ci è sempre stato molto simpatico e
(...) riteniamo opportuno ricordare la sua URL, almeno una volta ogni tanto (http://utenti.quipo.it/base5/)."

[delfo52]

domani sapremo...
a me sembra che il testo sia (volutamente) ambiguo . o forse anche di più. Gli amici di RM chiamano il problema, aperto; e sono certo consapevoli della difficoltà semantica dell'enunciato.
In effetti esistono vari punti di possibile fraintendimento.
- al momento della nomina, esiste già un parco monete circolante ?
-di che entità?
-è sottinteso che il parco monete deve mantenersi stabile ?
-vi è un criterio di scelta del materiale da scartare? (il testo recita un generico "vecchie")

sono propenso a credere che, tra le monete più vecchie, molte sono con grande probabilità, fuori dalla portata di eventuali raccoglitori (cadute in fessure del pavimento, in tasche di panciotti dimenticati in polverosobaule di polveroso solaio, trasformate in anima per bottoni, sotto la lingua di salme piamente sepolte....). La mia risposta è perciò che, in una nazione sufficientemente vasta e popolosa, non vi è limite alla vetustà delle monete in circolazione (nel senso che sono state emesse e non ritirate).

Ma, come ho detto, domani RM dirà la sua (o le sue) risposte.

[Br1]

Mi vergogno della mia azione...

Jumpy, lascia la vergogna a chi reca danno
al proprio prossimo, consapevolmente o per
menefreghismo, egoismo etc.
Tu hai una bella passione per la matematica
e si capisce molto bene.
Qui sei fra amici e (penso) buoni consigli

Ciao!

[jepa]

Ho letto con piacere che la prima soluzione postata da RM è esattamente coincidente con la mia.
Sancho, perchè qualche post fa hai scritto che la mia era una soluzione "(quasi) valida"?

[Sancho Panza]

Ti dico solo una cosa Jepa,
hai notato che la soluzione di Cid trova un risultato differente dalla tua?

Ebbene, ti dico perché ritengo più valida quella soluzione.
Considera che ci fossero solo 10 monete, con il tuo metodo troveresti:
0,9^n=1/10

n=21,85....

eppure il valore esatto è: $\sum\limits_{i = 1}^{10} {\frac{{10}}{i}} = \frac{{7381}}{{252}} = 29,29....$
per le ragioni esposte nella soluzione di Cid

Con quel metodo viene 138 anni che è (quasi) la tua soluzione,
quindi se quel metodo è valido, la tua soluzione è (quasi) valida.

Nella soluzione di Cid su RM100 è spiegato tutto in modo molto più chiaro,
per cui evito ulteriori dettagli.

[jepa]

Si ho letto anche la sua soluzione sancho,però non capisco perchè lui dica che "le monete si esauriranno quando (0,9)^k avrà un valore tra 0 e 1" invece che un valore uguale a 1. Per il resto il procedimento è esattamente lo stesso.
Lui mette come valore finale 0,5 e chiaramente ottiene 138,io ho messo come valore finale 1 e ho ottenuto 131.Tu hai capito il perchè dello 0,5?

[Sancho Panza]

Ciao Jepa,
io non dico che 0,5 sia il valore giusto, ma certamente è un'approssimazione migliore di 1.
Un'approssimazione ancora migliore sarebbe: 0,5614...
(ma non chiedermi di spiegarti perché in quanto su "Rudy Mathematici" c'è scritto che tengono aperto il problema e quindi ritengo che sarei scorretto nei loro confronti se fornissi qui le informazioni per risolverlo.)

A proposito di problemi aperti:
spero che ti sia accorto che dell'altro problema (quello chiamato "Problema di economia"), hanno pubblicato solo le due soluzioni che non rispondono in modo corretto al punto 4 ed hanno evitato di pubblicare le soluzioni di Trekker e di Cid che presumibilmente davano la risposta giusta.
I redattori di RM dicono di averlo fatto "per esercizio di tirannica prevaricazione", io credo che invece lo abbiano fatto per lasciare il problema aperto e lasciare ad altri lettori la possibilità di inviare ulteriori soluzioni.
Riguardo alle soluzioni pubblicate ti faccio notare che:
AGUP afferma che "non c'è strategia che tenga",
FraPao invece trova la giusta strategia e dimostra che Alberto con questa strategia non gioca mai più di 100 ore oltre a quelle che dovrebbe giocarsi se sapesse esattamente quanto ha intenzione di giocare come massimo Fred. Ma non trova qual'è il minimo che dovrebbe giocarsi Alberto.

Io credo che Alberto ha una strategia che gli permette di giocarsi non più di 45 ore oltre a quelle che dovrebbe giocarsi se sapesse esattamente quanto ha intenzione di giocare come massimo Fred.
Non ti dico quale sia questa strategia e non ti dico se si può fare anche di meglio in quanto ritengo che il problema sia ancora aperto, (appena il problema sarà vecchio di qualche mese sono disposto a dirti quale è la strategia che ho trovato.)

[jepa]

Ciao Sancho, in realtà non ho avuto modo di poter leggere il problema di economia ma ho intenzione di farlo stasera. Purtroppo il lavoro opprime e mi rimane sempre meno tempo. Spero di trovare almeno una mezz'oretta, sono problemi sempre divertenti.
Saluti