Il fratellino

[panurgo]

Questo non è niente di che ma è carino...

I punti $\mathrm{J}$, $\mathrm{K}$, $\mathrm{L}$ e $\mathrm{M}$ sono i baricenti dei triangoli $\mathrm{ABC}$, $\mathrm{BCD}$, $\mathrm{CDA}$ e $\mathrm{DAB}$ costruiti a partire dai lati e dalle diagonali di un quadrilatero convesso $\mathrm{ABCD}$.
Allo stesso modo si costruisce il quadrilatero $\mathrm{PQRS}$ a partire dal qualdrilatero $\mathrm{JKLM}$.

Calcolare il rapporto delle aree dei quadrilateri $\mathrm{ABCD}$ e $\mathrm{PQRS}$.


Diophante D266

[Gianfranco]

Non so se è la risposta giusta e la procedura è "pigra" ma per me ha portato qualche sorpresa di archeologia informatica, perciò ve la propongo.
In una vecchissima chiavetta di memoria ho trovato il programma KSEG.exe (per windows) v. 0.401, di Ilya Baran. Occupa 788 kB su disco. Praticamente niente.
Mi ricordavo che era un programma di geometria dinamica e ho provato a farlo partire. Funziona!
Allora ho provato a risolvere questo problema.
Ho costruito il primo quadrilatero piccolo (JKLM) dentro quello grande (ABCD) e ho fatto calcolare il rapporto delle loro aree, che risulta 4,5.
Vedi figura.
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rapporto_aree_B.jpg (88.36 KiB) Visto 559 volte

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Se costruisco con lo stesso metodo un altro quadrilatero, PQRS, dentro JKLM, il loro rapporto sarà ancora 4,5.
Quindi il rapporto ABCD : PQRS è (4,5)^2 = 20,25.
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Ripeto: potrei aver sbagliato tutto ma sono contento di aver ritrovato KSEG.

[panurgo]

Quadrilatero $\mathrm{ABCD}$, triangoli $\mathrm{ABC}$, $\mathrm{BCD}$, $\mathrm{CDA}$, $\mathrm{DAB}$: i tuoi triangoli sono $\mathrm{ABX}$, $\mathrm{BCX}$, $\mathrm{CDX}$, $\mathrm{DAX}$ con $\mathrm{X}$ intersezione delle diagonali.

La strada è quella giusta.

[Gianfranco]

Quadrilatero $\mathrm{ABCD}$, triangoli $\mathrm{ABC}$, $\mathrm{BCD}$, $\mathrm{CDA}$, $\mathrm{DAB}$: i tuoi triangoli sono $\mathrm{ABX}$, $\mathrm{BCX}$, $\mathrm{CDX}$, $\mathrm{DAX}$ con $\mathrm{X}$ intersezione delle diagonali.

Sì, mi sono accorto subito che avevo risolto un altro problema. Ho considerato triangoli diversi da quelli proposti nel problema.
Ecco la soluzione del problema originale.

rapporto_aree2.jpg (41.18 KiB) Visto 562 volte

Quindi il rapporto richiesto è 9^2=81.

[panurgo]

Calcoliamo l'area del quadrilatero $\mathrm{ABCD}$ tramite la formula di Gauss (shoelace formula)

$\mathrm{ABCD}=\frac{\displaystyle\left|
x_{\mathrm{A}}\,y_{\mathrm{B}}-
x_{\mathrm{B}}\,y_{\mathrm{A}}+
x_{\mathrm{B}}\,y_{\mathrm{C}}-
x_{\mathrm{C}}\,y_{\mathrm{B}}+
x_{\mathrm{C}}\,y_{\mathrm{A}}-
x_{\mathrm{D}}\,y_{\mathrm{C}}+
x_{\mathrm{D}}\,y_{\mathrm{A}}-
x_{\mathrm{A}}\,y_{\mathrm{D}}
\right|}{\displaystyle 2}$

Allo stesso modo calcoliamo l'area del quadrilatero $\mathrm{JKLM}$

$\mathrm{JKLM}=\frac{\displaystyle\left|
x_{\mathrm{J}}\,y_{\mathrm{K}}-
x_{\mathrm{K}}\,y_{\mathrm{J}}+
x_{\mathrm{K}}\,y_{\mathrm{L}}-
x_{\mathrm{L}}\,y_{\mathrm{K}}+
x_{\mathrm{L}}\,y_{\mathrm{M}}-
x_{\mathrm{M}}\,y_{\mathrm{L}}+
x_{\mathrm{M}}\,y_{\mathrm{J}}-
x_{\mathrm{J}}\,y_{\mathrm{M}}
\right|}{\displaystyle 2}$

Dato che le coordinate del baricentro di un triangolo sono la media delle coordinate dei suoi vertici abbiamo

$\begin{array}{lC}
x_{\mathrm{J}}=\frac{\displaystyle x_{\mathrm{A}}+x_{\mathrm{B}}+x_{\mathrm{C}}}{\displaystyle 3} \\
x_{\mathrm{K}}=\frac{\displaystyle x_{\mathrm{B}}+x_{\mathrm{C}}+x_{\mathrm{D}}}{\displaystyle 3} \\
x_{\mathrm{L}}=\frac{\displaystyle x_{\mathrm{C}}+x_{\mathrm{D}}+x_{\mathrm{A}}}{\displaystyle 3} \\
x_{\mathrm{M}}=\frac{\displaystyle x_{\mathrm{D}}+x_{\mathrm{A}}+x_{\mathrm{B}}}{\displaystyle 3}
\end{array}$

e

$\begin{array}{lC}
y_{\mathrm{J}}=\frac{\displaystyle y_{\mathrm{A}}+y_{\mathrm{B}}+y_{\mathrm{C}}}{\displaystyle 3} \\
y_{\mathrm{K}}=\frac{\displaystyle y_{\mathrm{B}}+y_{\mathrm{C}}+y_{\mathrm{D}}}{\displaystyle 3} \\
y_{\mathrm{L}}=\frac{\displaystyle y_{\mathrm{C}}+y_{\mathrm{D}}+y_{\mathrm{A}}}{\displaystyle 3} \\
y_{\mathrm{M}}=\frac{\displaystyle y_{\mathrm{D}}+y_{\mathrm{A}}+y_{\mathrm{B}}}{\displaystyle 3}
\end{array}$

Sostituendo queste espressioni nella formula della seconda area e semplificando otteniamo (con facile ma tediosa algebra)

$\mathrm{JKLM}=1/9\;\mathrm{ABCD}$

Segue, per costruzione

$\mathrm{PQRS}=1/81\;\mathrm{ABCD}$

D266.01.0b.png (50.36 KiB) Visto 444 volte