Torneo a coppie

[newdelfo]

Al venerdì sera, ci si trova per un torneo semiamichevole di burraco. 4 tavoli; 16 giocatori. Le coppie vengono sorteggiate a inizio serata; si è deciso di non accettare coppie formate da marito&moglie. Se capita che nell' estrazione, si verrebbero a trovare insieme, si pesca un altro bigliettino. Nei 16 presenti, ci sono cinque coppie di moglie e marito, e sei "single". La domanda è: quanto è probabile che l' estrazione fili liscia fino alla fine, senza che si debba intervenire per evitare una coppia di giocatori proibita? Il sistema di estrazione prevede sedici bigliettini piegati, che vengono presi in sequenza; il primo estratto farà coppia col secondo, il terzo col quarto,...il quindicesimo con l' ultimo. Alcuni pensieri introduttivi: ovviamente le estrazioni dispari sono "libere", mentre quando si apre il secondo, quarto, sesto ...bigliettino potrebbe essere il coniuge dell' estratto precedente. Esaminiamo il caso dell' estratto numero 2: se il primo era un single (6/16), il secondo non rischia di essere vietato; se il primo era uno sposato (10/16), c'è 1/15 di beccare il coniuge. Fin qui, è semplice. Il terzo non pone problemi, essendo dispari, ma già il quarto si complica, perché se il terzo era uno sposato, il relativo coniuge potrebbe essere già stato estratto al primo o secondo colpo... Si cerca la probabilità cumulativa di estrazione "pulita", e la probabilità che ogni singola estrazione (pari) risulti proibita.

[franco]

Cosa succede se estratti i primi 14 bigliettini restano nell'urna solo i nomi di una coppia?

[panurgo]

A me viene $\displaystyle\frac{96424}{135135}$

Cosa succede se estratti i primi 14 bigliettini restano nell'urna solo i nomi di una coppia?

Niente Burraco! Con probabilità $\displaystyle\frac{61}{2002}$...

[newdelfo]

Per evitare l'infausto caso, bisogna intervenire prima: quando sono rimasti quattro nominativi da sorteggiare, se sono due "coppie", le coppie sono obbligate; se tra gli ultimi quattro c'è una coppia, si procede ad una estrazione e se è un single, il successivo (se è l'altro single) verrà rimesso nel mucchio; se il quartultimo estratto è uno della coppia sposata, l'estrazione prosegue con la solita regola.

[newdelfo]

Il valore calcolato da panurgo (96/135 circa) è coerente con quanto è successo nelle ultime serate. Due volte su quattro è stato necessario rimettere dentro almeno un bigliettino.
Peccato che, vista l'esiguità del campione, qualsiasi risultato (da 0-4 a 4-0) credo risulterebbe accettabile.
E che cosa succede se il numero delle coppie si modifica? Che aspetto ha la curva che descrive il fenomeno all'aumentare del numero di coppie?

[panurgo]

Possiamo riambientare questo problema: anziché il noiosissimo burraco organizziamo una partouze di scambisti bisessuali e, ovviamente, non si va ad una partouze per stare con il proprio coniuge.
Abbiamo $c$ coniugi e $s$ single. Se ne prendiamo due a caso i tipi di coppie che si possono formare sono quattro: due single, un single e un coniuge, due coniugi non tra loro coniugati e due coniugi tra loro coniugati (coppia proibita).
Se sono due single il numero dei single diminuisce di due mentre quello dei dei coniugi rimane immutato.
Se sono un single e un coniuge i rispettivi conteggi diminuiscono di uno ma il coniuge coniugato al coniuge prescelto diventa a tutti gli effetti single: il numero dei coniugi diminuisce di due mentre il numero di single rimane costante.
Se sono due coniugi non tra loro coniugati i rispettivi coniugi coniugati diventano single: il numero dei coniugi diminuisce di quattro e quello dei single aumenta di due.
Etichettiamo gli stati del processo con la coppia $c,s$: la scelta di una coppia è rappresentata dal grafo seguente

Torneo a coppie.01.png (6.8 KiB) Visto 3689 volte

(lo stato proibito, $\symup{X}$, si raggiunge quando si becca una coppia proibita)
Utilizziamo solo le informazioni sulle numerosità e il principio di indifferenza: si sono $(c+s)(c+s-1)$ modi di prendere una coppia: $s(s-1)$ sono i due single, $2cs$ sono un single e un coniuge, $c(c-2)$ sono i coniugi non tra loro coniugati e $c\cdot1$ sono i coniugi tra loro coniugati.
Le probalità di transizione in uscita dallo stato $c,s$ sono:

$\begin{array}{lC}
\displaystyle\Pr\left(c,s-2\middle|c,s\wedge\top\right)=p_1=\frac{s(s-1)}{(c+s)(c+s-1)} \\
\displaystyle\Pr\left(c-2,s\middle|c,s\wedge\top\right)=p_2=\frac{2cs}{(c+s)(c+s-1)} \\
\displaystyle\Pr\left(c-4,s+2\middle|c,s\wedge\top\right)=p_3=\frac{c(c-2)}{(c+s)(c+s-1)} \\
\displaystyle\Pr\left(\symup{X}\middle|c,s\wedge\top\right)=p_4=\frac{c\cdot1}{(c+s)(c+s-1)}
\end{array}$

Rovesciando la prospettiva, le probalità di transizione per arrivare dallo stato $c,s$ sono:

$\begin{array}{lC}
\displaystyle\Pr\left(c,s\middle|c,s+2\wedge\top\right)=p_1^\prime=\frac{(s+2)(s+1)}{(c+s+2)(c+s+1)} \\
\displaystyle\Pr\left(c,s\middle|c+2,s\wedge\top\right)=p_2^\prime=\frac{2(c+2)s}{(c+s+2)(c+s+1)} \\
\displaystyle\Pr\left(c,s\middle|c+4,s-2\wedge\top\right)=p_3^\prime=\frac{(c+4)(c+2)}{(c+s+2)(c+s+1)}
\end{array}$

Nessuna transizione verso $c,s$ viene dallo stato proibito.
Il processo è descritto dal grafo seguente

Torneo a coppie.02.png (26 KiB) Visto 3689 volte

Dal grafo sono state omesse le transizioni verso lo stato $\symup{X}$ (la freccia indietro del grafo precedente); tali transizioni sono possibili per tutti gli stati tranne per quelli senza coniugi: da $0,10$ a $0,0$.
Scriviamo una tabella con lo stato di partenza, i possibili stati di arrivo con le rispettive probabilità di transizione, la probabilità $p_4$ di beccare una coppia proibita: la probabilità $p$ di occupazione dello stato $c,s$ viene calcolata a cascata, come mostrato in tabella per lo stato $6,6$, facendo riferimento alle probabilità di occupazione degli stati precedenti e alle rispettive probabilità di transizione verso $c,s$ secondo l'equazione

$\Pr\left(c,s\middle|\top\right)=p=p_1^\prime\Pr\left(c,s+2\middle|\top\right)+p_2^\prime\Pr\left(c+2,s\middle|\top\right)+p_3^\prime\Pr\left(c+4,s-2\middle|\top\right)$

partendo da $\Pr\left(10,6\middle|\top\right)=1$.

$\begin{array}{|c|cc|cc|cc|c|c|c|}
\hline
S & S_1 & p_1 & S_2 & p_2 & S_3 & p_3 & p_4 & p & p⋅p_4 \\
\hline
10,6 & 10,4 & \displaystyle\frac{1}{8} & 8,6 & \displaystyle\frac{1}{2} & 6,8 & \displaystyle\frac{1}{3} & \displaystyle\frac{1}{24} & 1 & \displaystyle\frac{1}{24} \\
\hline
10,4 & 10,2 & \displaystyle\frac{6}{91} & 8,4 & \displaystyle\frac{40}{91} & \symbfsfit{6,6} & \symbfsfit{\displaystyle\frac{40}{91}} & \displaystyle\frac{5}{91} & \symbfsfit{\displaystyle\frac{1}{8}} & \displaystyle\frac{5}{728} \\
\hline
10,2 & 10,0 & \displaystyle\frac{1}{66} & 8,2 & \displaystyle\frac{10}{33} & 6,4 & \displaystyle\frac{20}{33} & \displaystyle\frac{5}{66} & \displaystyle\frac{3}{364} & \displaystyle\frac{5}{8008} \\
\hline
10,0 & – & 0 & – & 0 & 6,2 & \displaystyle\frac{8}{9} & \displaystyle\frac{1}{9} & \displaystyle\frac{1}{8008} & \displaystyle\frac{1}{72072} \\
\hline
8,6 & 8,4 & \displaystyle\frac{15}{91} & \symbfsfit{6,6} & \symbfsfit{\displaystyle\frac{48}{91}} & 4,8 & \displaystyle\frac{24}{91} & \displaystyle\frac{4}{91} & \symbfsfit{\displaystyle\frac{1}{2}} & \displaystyle\frac{2}{91} \\
\hline
8,4 & 8,2 & \displaystyle\frac{1}{11} & 6,4 & \displaystyle\frac{16}{33} & 4,6 & \displaystyle\frac{4}{11} & \displaystyle\frac{2}{33} & \displaystyle\frac{25}{182} & \displaystyle\frac{25}{3003} \\
\hline
8,2 & 8,0 & \displaystyle\frac{1}{45} & 6,2 & \displaystyle\frac{16}{45} & 4,4 & \displaystyle\frac{8}{15} & \displaystyle\frac{4}{45} & \displaystyle\frac{15}{1001} & \displaystyle\frac{4}{3003} \\
\hline
8,0 & – & 0 & – & 0 & 4,2 & \displaystyle\frac{6}{7} & \displaystyle\frac{1}{7} & \displaystyle\frac{1}{3003} & \displaystyle\frac{1}{21021} \\
\hline
6,8 & \symbfsfit{6,6} & \symbfsfit{\displaystyle\frac{4}{13}} & 4,8 & \displaystyle\frac{48}{91} & 2,10 & \displaystyle\frac{12}{91} & \displaystyle\frac{3}{91} & \symbfsfit{\displaystyle\frac{1}{3}} & \displaystyle\frac{1}{91} \\
\hline
\symbfsfit{6,6} & 6,4 & \displaystyle\frac{5}{22} & 4,6 & \displaystyle\frac{6}{11} & 2,8 & \displaystyle\frac{2}{11} & \displaystyle\frac{1}{22} & \symbfsfit{\displaystyle\frac{115}{273}=\frac{4}{13}×\frac{1}{3}+\frac{48}{91}×\frac{1}{2}+\frac{40}{91}×\frac{1}{8}} & \displaystyle\frac{115}{6006} \\
\hline
6,4 & 6,2 & \displaystyle\frac{2}{15} & 4,4 & \displaystyle\frac{8}{15} & 2,6 & \displaystyle\frac{4}{15} & \displaystyle\frac{1}{15} & \displaystyle\frac{335}{2002} & \displaystyle\frac{67}{6006} \\
\hline
6,2 & 6,0 & \displaystyle\frac{1}{28} & 4,2 & \displaystyle\frac{3}{7} & 2,4 & \displaystyle\frac{3}{7} & \displaystyle\frac{3}{28} & \displaystyle\frac{250}{9009} & \displaystyle\frac{125}{42042} \\
\hline
6,0 & – & 0 & – & 0 & 2,2 & \displaystyle\frac{4}{5} & \displaystyle\frac{1}{5} & \displaystyle\frac{125}{126126} & \displaystyle\frac{25}{126126} \\
\hline
4,8 & 4,6 & \displaystyle\frac{14}{33} & 2,8 & \displaystyle\frac{16}{33} & 0,10 & \displaystyle\frac{2}{33} & \displaystyle\frac{1}{33} & \displaystyle\frac{4}{13} & \displaystyle\frac{4}{429} \\
\hline
4,6 & 4,4 & \displaystyle\frac{1}{3} & 2,6 & \displaystyle\frac{8}{15} & 0,8 & \displaystyle\frac{4}{45} & \displaystyle\frac{2}{45} & \displaystyle\frac{16}{39} & \displaystyle\frac{32}{1755} \\
\hline
4,4 & 4,2 & \displaystyle\frac{3}{14} & 2,4 & \displaystyle\frac{4}{7} & 0,6 & \displaystyle\frac{1}{7} & \displaystyle\frac{1}{14} & \displaystyle\frac{2108}{9009} & \displaystyle\frac{1054}{63063} \\
\hline
4,2 & 4,0 & \displaystyle\frac{1}{15} & 2,2 & \displaystyle\frac{8}{15} & 0,4 & \displaystyle\frac{4}{15} & \displaystyle\frac{2}{15} & \displaystyle\frac{1310}{21021} & \displaystyle\frac{524}{63063} \\
\hline
4,0 & – & 0 & – & 0 & 0,2 & \displaystyle\frac{2}{3} & \displaystyle\frac{1}{3} & \displaystyle\frac{262}{63063} & \displaystyle\frac{262}{189189} \\
\hline
2,10 & 2,8 & \displaystyle\frac{15}{22} & 0,10 & \displaystyle\frac{10}{33} & – & 0 & \displaystyle\frac{1}{66} & \displaystyle\frac{4}{91} & \displaystyle\frac{2}{3003} \\
\hline
2,8 & 2,6 & \displaystyle\frac{28}{45} & 0,8 & \displaystyle\frac{16}{45} & – & 0 & \displaystyle\frac{1}{45} & \displaystyle\frac{256}{1001} & \displaystyle\frac{256}{45045} \\
\hline
2,6 & 2,4 & \displaystyle\frac{15}{28} & 0,6 & \displaystyle\frac{3}{7} & – & 0 & \displaystyle\frac{1}{28} & \displaystyle\frac{19034}{45045} & \displaystyle\frac{9517}{630630} \\
\hline
2,4 & 2,2 & \displaystyle\frac{2}{5} & 0,4 & \displaystyle\frac{8}{15} & – & 0 & \displaystyle\frac{1}{15} & \displaystyle\frac{4265}{11466} & \displaystyle\frac{853}{34398} \\
\hline
2,2 & 2,0 & \displaystyle\frac{1}{6} & 0,2 & \displaystyle\frac{2}{3} & – & 0 & \displaystyle\frac{1}{6} & \displaystyle\frac{183}{1001} & \displaystyle\frac{61}{2002} \\
\hline
2,0 & – & 0 & – & 0 & – & 0 & 1 & \displaystyle\frac{61}{2002} & \displaystyle\frac{61}{2002} \\
\hline
0,10 & 0,8 & 1 & – & 0 & – & 0 & 0 & \displaystyle\frac{32}{1001} & 0 \\
\hline
0,8 & 0,6 & 1 & – & 0 & – & 0 & 0 & \displaystyle\frac{21536}{135135} & 0 \\
\hline
0,6 & 0,4 & 1 & – & 0 & – & 0 & 0 & \displaystyle\frac{27206}{72765} & 0 \\
\hline
0,4 & 0,2 & 1 & – & 0 & – & 0 & 0 & \displaystyle\frac{185686}{315315} & 0 \\
\hline
0,2 & 0,0 & 1 & – & 0 & – & 0 & 0 & \displaystyle\frac{96424}{135135} & 0 \\
\hline
0,0 & – & 0 & – & 0 & – & 0 & 0 & \displaystyle\frac{96424}{135135} & 0 \\
\hline
& & & & & & & & & \displaystyle\frac{38711}{135135} \\
\hline
\end{array}$

La probabilità di occupazione dello stato $\symup{0,0}$

$\displaystyle\Pr\left(0,0\middle|\top\right)=\frac{96424}{135135}$

è la probabilità di giocare a burraco (o di non cadere nella noia coniugale, a scelta).
Nell'ultima colonna ci sono le probabilità parziali di occupazione dello stato $\symup{X}$ ($p\cdot p_4$) e la loro somma

$\displaystyle\Pr\left(\symup{X}\middle|\top\right)=\Pr\left(\symup{X}\wedge10,6\middle|\top\right)+\Pr\left(\symup{X}\wedge10,4\middle|\top\right)+\cdots=\frac{38711}{135135}$

è il complemento di $\Pr\left(0,0\middle|\top\right)$

$\displaystyle\Pr\left(\symup{X}\middle|\top\right)+\Pr\left(0,0\middle|\top\right)=1$

una verifica che conviene fare per essere certi di non aver fatto errori...

[newdelfo]

Fantastico.
Fantastica la elaborazione del problema; e fantastica la declinazione in ambito scambistico.

[panurgo]

La formulazione del problema è suscettibile di essere interpretata in modo leggermente diverso se consideriamo il processo esattamente come descritto:
1. selezione del primo membro
2. selezione del secondo membro
3. se i due sono tra loro coniugati selezione del secondo membro tra i rimanenti
i passi 2 e 3 possono essere uniti nel passo
2’. selezione del secondo membro tra coloro che non sono ad esso coniugati.
La selezione di una coppia è mostrata nel grafo seguente dove a sinistra è rappresentata la selezione dei due membri e a destra il nucleo del grafo complessivo le cui probabilità di transizione sono

Torneo a coppie.04.png (17.98 KiB) Visto 572 volte

$\begin{array}
\displaystyle\Pr\left(c ,s-2\middle|c,s\wedge\top\right)=\displaystyle\frac{s(s-1)}{(c+s)(c+s-1)} \\
\displaystyle\Pr\left(c-2,s \middle|c,s\wedge\top\right)=\frac{cs}{(c+s)(c+s-1)}+\frac{cs}{(c+s)(c+s-2)} \\
\displaystyle\Pr\left(c-4,s+2\middle|c,s\wedge\top\right)=\frac{c(c-2)}{(c+s)(c+s-2)}
\end{array}$

La transizione verso lo stato proibito non è mostrata perché non c’è: con questo processo il solo stato $2,0$ porta alla coppia proibita.

Osserviamo che, se il primo membro appartiene ai coniugi la selezione del secondo membro avviene tra $c+s-2$ persone, da cui le probabilità diverse (sempre assegnate in base alle numerosità e al Principio di Indifferenza).
Il processo complessivo

Torneo a coppie.02.png (26 KiB) Visto 572 volte

rimane invariato con un significato diverso per il colore rosso dello stato $2,0$.
Rifacciamo i conti con una tabella semplificata (non ci sono ne $p_4$ ne $p_4\cdot p$)

$\begin{array}{|c|cc|cc|cc|c|}
\hline
S & S_1 & p_1 & S_2 & p_2 & S_3 & p_3 & p \\
\hline
10,6 & 10,4 & \displaystyle\frac{1}{8} & 8,6 & \displaystyle\frac{29}{56} & 6,8 & \displaystyle\frac{5}{14} & 1 \\
\hline
10,4 & 10,2 & \displaystyle\frac{6}{91} & 8,4 & \displaystyle\frac{125}{273} & 6,6 & \displaystyle\frac{10}{21} & \displaystyle\frac{1}{8} \\
\hline
10,2 & 10,0 & \displaystyle\frac{1}{66} & 8,2 & \displaystyle\frac{7}{22} & 6,4 & \displaystyle\frac{2}{3} & \displaystyle\frac{3}{364} \\
\hline
10,0 & – & 0 & – & 0 & 6,2 & \displaystyle 1 & \displaystyle\frac{1}{8008} \\
\hline
8,6 & 8,4 & \displaystyle\frac{15}{91} & 6,6 & \displaystyle\frac{50}{91} & 4,8 & \displaystyle\frac{2}{7} & \displaystyle\frac{29}{56} \\
\hline
8,4 & 8,2 & \displaystyle\frac{1}{11} & 6,4 & \displaystyle\frac{28}{55} & 4,6 & \displaystyle\frac{2}{5} & \displaystyle\frac{545}{3822} \\
\hline
8,2 & 8,0 & \displaystyle\frac{1}{45} & 6,2 & \displaystyle\frac{17}{45} & 4,4 & \displaystyle\frac{3}{5} & \displaystyle\frac{2621}{168168} \\
\hline
8,0 & – & 0 & – & 0 & 4,2 & 1 & \displaystyle\frac{2621}{7567560} \\
\hline
6,8 & 6,6 & \displaystyle\frac{4}{13} & 4,8 & \displaystyle\frac{50}{91} & 2,10 & \displaystyle\frac{1}{7} & \displaystyle\frac{5}{14} \\
\hline
\symbfsfit{6,6} & 6,4 & \displaystyle\frac{5}{22} & 4,6 & \displaystyle\frac{63}{110} & 2,8 & \displaystyle\frac{1}{5} & \displaystyle\frac{1735}{3822} \\
\hline
6,4 & 6,2 & \displaystyle\frac{2}{15} & 4,4 & \displaystyle\frac{17}{30} & 2,6 & \displaystyle\frac{3}{10} & \displaystyle\frac{15241}{84084} \\
\hline
6,2 & 6,0 & \displaystyle\frac{1}{28} & 4,2 & \displaystyle\frac{13}{28} & 2,4 & \displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{114197}{3873870} \\
\hline
6,0 & – & 0 & – & 0 & 2,2 & 1 & \displaystyle\frac{114197}{105949840} \\
\hline
4,8 & 4,6 & \displaystyle\frac{14}{33} & 2,8 & \displaystyle\frac{28}{55} & 0,10 & \displaystyle\frac{1}{15} & \displaystyle\frac{877}{2548} \\
\hline
4,6 & 4,4 & \displaystyle\frac{1}{3} & 2,6 & \displaystyle\frac{17}{30} & 0,8 & \displaystyle\frac{1}{10} & \displaystyle\frac{2955}{6468} \\
\hline
4,4 & 4,2 & \displaystyle\frac{3}{14} & 2,4 & \displaystyle\frac{13}{21} & 0,6 & \displaystyle\frac{1}{6} & \displaystyle\frac{56003}{210210} \\
\hline
4,2 & 4,0 & \displaystyle\frac{1}{15} & 2,2 & \displaystyle\frac{3}{5} & 0,4 & \displaystyle\frac{1}{3} & \displaystyle\frac{2523193}{35315280} \\
\hline
4,0 & – & 0 & – & 0 & 0,2 & 1 & \displaystyle\frac{2523193}{529729200} \\
\hline
2,10 & 2,8 & \displaystyle\frac{15}{22} & 0,10 & \displaystyle\frac{7}{22} & – & 0 & \displaystyle\frac{5}{98} \\
\hline
2,8 & 2,6 & \displaystyle\frac{28}{45} & 0,8 & \displaystyle\frac{17}{45} & – & 0 & \displaystyle\frac{126463}{420420} \\
\hline
2,6 & 2,4 & \displaystyle\frac{15}{28} & 0,6 & \displaystyle\frac{13}{28} & – & 0 & \displaystyle\frac{340498}{675675} \\
\hline
2,4 & 2,2 & \displaystyle\frac{2}{5} & 0,4 & \displaystyle\frac{3}{5} & – & 0 & \displaystyle\frac{23836763}{52972920} \\
\hline
2,2 & 2,0 & \displaystyle\frac{1}{6} & 0,2 & \displaystyle\frac{5}{6} & – & 0 & \displaystyle\frac{2724447}{12612600} \\
\hline
2,0 & – & 0 & – & 0 & – & 0 & \displaystyle\frac{2824447}{75675600} \\
\hline
0,10 & 0,8 & 1 & – & 0 & – & 0 & \displaystyle\frac{4118}{105105} \\
\hline
0,8 & 0,6 & 1 & – & 0 & – & 0 & \displaystyle\frac{7534297}{37837800} \\
\hline
0,6 & 0,4 & 1 & – & 0 & – & 0 & \displaystyle\frac{8423}{17640} \\
\hline
0,4 & 0,2 & 1 & – & 0 & – & 0 & \displaystyle\frac{408579233}{529729200} \\
\hline
0,2 & 0,0 & 1 & – & 0 & – & 0 & \displaystyle\frac{72851153}{75675600} \\
\hline
0,0 & – & 0 & – & 0 & – & 0 & \displaystyle\frac{72851153}{75675600} \\
\hline
\end{array}$

Anche qui

$\displaystyle\Pr\left(\symup{X}\middle|\top\right)+\Pr\left(0,0\middle|\top\right)=1$

Dato che per arrivare in $0,0$ si deve passare per $2,0$ per arrivare in $\symup{X}$ si deve passare per $0,2$ abbiamo

$\displaystyle\Pr\left(\symup{X}\middle|\top\right)+\Pr\left(0,0\middle|\top\right)= \Pr\left(2,0\middle|\top\right)+\Pr\left(0,2\middle|\top\right)=\frac{2824447}{75675600}+\frac{72851153}{75675600}=1$

che è sempre un’utile verifica.