Il gratta e vinci milionario

[franco]

Una scheda di gratta e vinci presenta 36 caselle "grattabili".
21 coprono uno 0
9 coprono un 1
6 coprono un 10

E' possibile possibile grattare un numero di caselle a piacere; il premio è pari (in euro) al prodotto dei numeri scoperti.

Se si riuscisse a grattare tutti i 10 e nessuno 0 (gli 1 sono irrilevanti in questo caso), si vincerebbe un milione di euro!
Chiaramente, se si scopre anche un solo zero la partita è persa!

Utilizzando la migliore strategia possibile, ci sarebbe convenienza a giocare se la scheda costasse 5 euro? e se costasse 10 euro?

www.diophante.fr
G10175

[franco]

Ho provato a fare qualche ragionamento.

Naturalmente, il tutto solo a scopo speculativo: è noto che i "gratta e vinci" sono in realtà un modo per rastrellare soldi e gli unici a vincere sono i gestori.

Intanto è evidente che, a meno che la scheda non costi meno di 1€, non ha alcun senso smettere di grattare quando si sono scoperti solo numeri 1.

L'unica speranza di portare a casa qualche vincita è quella di fermarsi dopo aver scoperto uno o più 10.

Se non ho sbagliato i calcoli, a me risultano queste vincite attese in funzione delle diverse strategie:

grattaevinci.png (8.88 KiB) Visto 671 volte

La strategia miglore dovrebbe essere quella di continuare a grattare sinchè si sono scoperti 4 numeri 10 e poi fermarsi.

Chiaramente, se la scheda costasse 10 €, anche questa strategia sarebbe comunque perdente mentre ad un prezzo di 5 € varrebbe la pena di giocare.

Ho comunque un po' di dubbi sulla validità dei miei conti, quindi se qualcuno si vuole cimentare (anche in una simulazione) è il benvenuto!

ciao

[panurgo]

Beh Franco: ottieni i miei stessi risultati (Non ho avuto modo di postare per via dei molti impegni).

Inoltre, queta è chiaramente la risposta che si attendono su Diophante altrimenti perché indicare una posta di 5 e una di 10?

Io no nsono così convinto che l'expectation sia una buona guida in questo caso; infatti l'expectation è additiva mentre il premio è esponenziale: premi molto elevati ottenuti raramente fanno aumentare di molto l'expectation.

E' un po' come il Superenalotto: non si può giocare per vincere "in media" ma si deve puntare al massimo con il minimo sforzo.

Sto facendo le opportune riflessioni

[franco]

Ho provato a fare un programmino di simulazione in Visual Basic per Excel e questi sono i risultati (5 milioni di giocate con ognuna delle possibili strategie):

g&v2.png (11.74 KiB) Visto 481 volte

Le vincite medie sono molto vicine a quelle attese, a parte la strategia di giocare solo per il jackpot da un milione.
Questa differenza però è facilmente spiegabile: in rapporto alla probabilità di centrare tutti i 6 (0,00034%), 5 milioni di tentativi presumibilmente non sono un campione sufficientemente significativo.

[panurgo]

[...] (5 milioni di giocate con ognuna delle possibili strategie) [...]

Questo è il problema con le medie (expecatation): nessuno giocherà mai 5 milioni di gratta e vinci. Siamo sicuri che dobbiamo usare la media per valutare la bontà di una strategia?

Prova con 100 giocate e facci sapere cosa viene...

P.S.: non ho dubbi che le tue simulazioni siano compatibili con i risultati calcolati (che corrispondono a infinite giocate).

[franco]

[...] (5 milioni di giocate con ognuna delle possibili strategie) [...]

Questo è il problema con le medie (expecatation): nessuno giocherà mai 5 milioni di gratta e vinci. Siamo sicuri che dobbiamo usare la media per valutare la bontà di una strategia?

Prova con 100 giocate e facci sapere cosa viene...

P.S.: non ho dubbi che le tue simulazioni siano compatibili con i risultati calcolati (che corrispondono a infinite giocate).

Siamo perfettamente d'accordo, è solo un giochino matematico declinato sotto forma di gratta e vinci
La strategia migliore è quella di non comprare proprio la cartolina!

Del resto, Bruno de Finetti (uno dei padri fondatori del moderno Calcolo delle probabilità) chiamava il gioco del Lotto "Tassa sulla stupidità"(*), e quella definizione si può sicuramente estendere ai gratta e vinci, alle lotterie di Capodanno, al Superenalotto e a tutte le altre diavolerie pensate principalmente per fare cassa a danno degli allocchi.

Personalmente non ho mai acquistato un gratta e vinci perchè sono assolutamente convinto che sia una fesseria ... come giocare alle slot machine o al lotto.
Poi è anche vero che da ragazzo giocavo la schedina totocalcio con gli amici, ma in quel caso si faceva più per divertimento che per per la speranza di guadagnarci (in tanti anni abbiamo fatto solo un 12 e abbiamo diviso in cinque meno di 40.000 lire! )

PS
Sulla pagina di diophante.fr lo stesso problema è presentato anche in una versione basata sull'estrazione di biglie di tre colori da un'urna.
Une urne contient des boules blanches, grises et rouges. Le jeu consiste à tirer une ou plusieurs boules, sans remise, selon la règle suivante :
-- si je tire une boule rouge, j'ai perdu et c'est la fin du coup ;
-- sinon, j'arrête le tirage quand je veux ;
-- quand le tirage s'arrête sans boule rouge, je gagne 10 euros si j'ai tiré une boule blanche, 100 euros pour deux, 1000 euros pour trois, etc.
...

(*) questa l'ho copiata da internet ... avevo sentito parlare della "tassa sulla stupidità" ma Bruno de Finetti non l'avevo mai sentito nominare

[panurgo]

[...] Bruno de Finetti non l'avevo mai sentito nominare

Ahiahiahi!