Quadrato iper-magico

[Quelo]

Chiamiamo quadrato iper-magico un quadrato magico di ordine 4, con tutti numeri diversi, tale per cui, se lo si seziona in una delle tredici figure che vedete nell'immagine, ogni sezione contiene 4 numeri la cui somma è uguale alla costante magica (nell'esempio la costante magica vale 64)

Compilare un quadrato iper-magico con i numeri da 1 a 16

Quadrato magico 64.png (7.16 KiB) Visto 98293 volte

Quadrato magico 13.png (14.23 KiB) Visto 98293 volte

Quadrato magico 52.png (17.66 KiB) Visto 98293 volte

[Gianfranco]

Questo problema mi sembra tosto,
mi ci metto dopo ferragosto.
Ma la mia fiducia ho riposto
nel fatto che alcuno bendisposto
bene o male abbia già risposto.

[franco]

Quadrato ipermagico.png (3.75 KiB) Visto 98149 volte

Trovato con un ragionamento un po' laterale

[Gianfranco]

Fenomenale, Franco!
Buon ferragosto!

[Quelo]

Bravo Franco.

Possiamo notare alcune caratteristiche comuni alle soluzioni che ho trovato io:
- se dividiamo il quadrato in 4 quadrati 2x2 notiamo che ogni diagonale contiene una coppia di numeri la cui somma è 17, questo implica che tutti i sezionamenti che contengono caselle in diagonale avranno sempre somma 34
- le coppie più interne (8,9 - 7,10) e quelle più esterne (1,16 - 2,15) sono sulle diagonali principali.
Disposti questi numeri in modo da avere somma 34 nel riquadro centrale, non è difficile disporre gli altri sui lati

Ecco un quadrato iper-magico con soli numeri primi, sarà il quadrato minimo? Probabilmente no

Quadrato magico 1320.png (11.08 KiB) Visto 98088 volte

[franco]

Trovato con un ragionamento un po' laterale

Ho inizialmente preparato un file excel che calcolasse la somma delle 13x4 "zone", poi ho cominciato a mettere i numeri un pò a casaccio senza gran risultato.

Poi ho avuto un'intuizione.
Nel quadrato postato come esempio da Quelo, c'erano i numeri 4, 5, 7, 8, 10, ... 25, 27, 28.
Li ho semplicemente sostituiti nell'ordine con i numeri da 1 a 16 e magicamente tutte le somme hanno dato 34

[Quelo]

Comunque una buona intuizione

Intanto qui abbiamo un quadrato iper-magico primo con costante magica 420

Quadrato magico 420.png (9.72 KiB) Visto 98014 volte

L'altro aveva costante magica 1320, ma in compenso erano tutti primi gemelli
Saranno le soluzioni minime? Chi può dirlo

Buon Ferragosto!

[Quelo]

Analizzando i quadrati magici di ordine 3 mi sono accorto possono essere decritti da 3 parametri (a, b, c) che chiameremo avvio, passo e scala.
Avremo quindi tre gruppi di numeri dove in ogni gruppo i numeri sono distanziati del passo, mentre i gruppi sono distanziati dalla scala

$\begin{cases}
a\,, & a+b\,, & a+2b\\
a+c\,, & a+b+c\,, & a+2b+c\\
a+2c\,, & a+b+2c\,, & a+2b+2c
\end{cases}$

la disposzione sarà

$\begin{bmatrix}
a+2b+c & a & a+b+2c \\
a+2c & a+b+c & a+2b \\
a+b & a+2b+2c & a+c
\end{bmatrix}$

e la costante magica $3(a+b+c)$

Scegliendo opportunamente i tre parametri possiamo compilare un quarato magico con la costante magica e le caratteristiche desiderate.

Ad esempio con (1, 1, 3) avremo il classico quadrato con i numeri da 1 a 9

$\begin{bmatrix}
6 & 1 & 8 \\
7 & 5 & 3 \\
2 & 9 & 4
\end{bmatrix}$

con (1,2,6) tutti numeri dispari, con (2,2,6) tutti numeri pari, ecc...

Scegliendo (1,6,30) otteniamo il quadrato magico di numeri primi presente anche su Wikipedia, il quale però contiene l'uno che non è un numero primo.
Per trovarne uno di soli numeri primi dobbiamo usare (5,12,42)

$\begin{bmatrix}
71 & 5 & 101 \\
89 & 59 & 29 \\
17 & 113 & 47
\end{bmatrix}$

oppure (7,30,36)

$\begin{bmatrix}
103 & 7 & 109 \\
79 & 73 & 67 \\
37 & 139 & 43
\end{bmatrix}$