Il problema più facile dell'IMO 2024

[Gianfranco]

Problema 1. Determinare tutti i numeri reali α tali che, per ogni intero positivo n, il numero intero ⌊α⌋ + ⌊2α⌋ + ··· + ⌊nα⌋ è un multiplo di n.

(Si noti che ⌊z⌋ indica il più grande intero minore o uguale di z.
Per esempio, ⌊−π⌋ = −4 e ⌊2⌋ = ⌊2.9⌋ = 2.)

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Nota. E' il problema 1 dell'International Mathematics Olympiad del 2024. Siccome i problemi sono elencati in ordine di difficoltà crescente, questo dovrebbe essere quello più facile.

[Quelo]

Il primo risultato che ho trovato è

$\alpha=1,\!\overline{9}$

I suoi multipli sono

$3,\!\overline{9}; \,5,\!\overline{9}; \,7,\!\overline{9}; \,...$

Considerando la parte intera, abbiamo una somma di numeri dispari che vale

$n^2$

[Gianfranco]

Molto interessante!
Se immaginiamo un'estensione dei numeri reali (forse sono gli iperreali) in cui esiste un infinitesimo attuale $dx$ minore di qualunque numero reale allora forse potremmo scrivere:
$1,\!\overline{9}+ dx = 2$
e quindi $\alpha=1,\!\overline{9} = 2-dx$ sarebbe diverso da 2.
E quindi avresti ragione.

E una famiglia di soluzioni sarebbe del tipo:
$α = 1,\!\overline{9} + 2k = 2-dx + 2k$
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Se però rimaniamo nei numeri reali "classici", abbiamo che
$1,\!\overline{9} = 2$
E in effetti la sommatoria è multipla di $n$ con tutti gli $α$ numeri pari ma non con gli $α$ numeri dispari.
Infatti abbiamo:

$⌊α⌋ + ⌊2α⌋ + ⌊3α⌋ + ··· + ⌊nα⌋ =$

$(1 + 2 + 3 + ... + n)α$

$\displaystyle Sommatoria = \frac{n(1+n)}{2} α$

1) se $α = 2k$
$Sommatoria = n(1+n)k $ (evidentemente è multiplo di $n$ sempre).

2) se $α = 2k+1$

$\displaystyle Sommatoria = \frac{n(1+n)}{2} (2k+1)$

Per $n$ pari, cioè $n = 2h$, non è multipla di $n$.
$Sommatoria = h(1+n)(2k+1)$ (non c'è alcun fattore $n$)

Conclusione:
$α$ = numero pari
Rimane da analizzare cosa succede quando $α$ NON è intero.