Ripensando al meme dell'unicorno sul quadrato del binomio, (a+b)^2=a^2+b^2, mi sono imbattuto nell'Algebra tropicale.
Vi propongo qualche domandina.
Sembrano cose difficili ma sono facili e divertenti.
Definizione di semianello tropicale.
semianello_tropicale.png (76.13 KiB) Visto 72500 volte
1) Qual è l'elemento neutro della moltiplicazione tropicale?
2) Qual è l'elemento neutro dell'addizione tropicale?
3) Perché non c'è la sottrazione tropicale? (sarebbe l'inverso dell'addizione tropicale)
4) Come si può definire la divisione tropicale? (sarebbe l'inverso della moltiplicazione)
1) Qual è l'elemento neutro della moltiplicazione tropicale?
direi $0$: qualsiasi $x$ moltiplicato tropicalmente con $0$ produce un risultato pari a $x$
2) Qual è l'elemento neutro dell'addizione tropicale?
direi ∞ : qualsiasi $x$ addizionato tropicalmente con ∞ produce un risultato pari a $x$
3) Perché non c'è la sottrazione tropicale? (sarebbe l'inverso dell'addizione tropicale)
perchè noto il risultato (minimo fra $x$ e $y$) e uno degli addendi tropicali (ad esempio $x$), è impossibile determinare l'altro addendo tropicale se $min (x;y) = x$
4) Come si può definire la divisione tropicale? (sarebbe l'inverso della moltiplicazione)
siccome la moltiplicazione tropicale non è altro che una addizione "normale", la divisione tropicale potrebbe essere definita come una sottrazione "normale"
Franco
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
Rispondo a naso con elevata probabilità di sbagliare
1. zero
2. infinito
3. ...
4. in analogia con x "/" y = x "·" 1/y abbiamo x "-" y = x "+" (-y)
speriamo
P.S. Mentre scrivevo sono stato sopravanzato da Franco
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Franco e Panurgo, vi ringrazio per le risposte che sono OK.
Veniamo ora alla seconda parte, un po' più difficile.
Dimostrare che, nell'aritmetica tropicale che abbiamo definito:
$(a+b)^2=a^2+b^2$
E anche:
$(a+b)^3=a^3+b^3$
Gli elevamenti a potenza tropicali richiederebbero un simbolo specifico ma, per evitare complicazioni di scrittura, ho usato la notazione "normale" e vanno interpretati come moltiplicazioni tropicali ripetute, analogamente a quelle dell'aritmetica "normale".
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Post scriptum.
Non mi convinceva questo meme che ho trovato in internet perciò ho cercato controesempi. Oltre al classico controesempio dell'aritmetica modulare ho trovato anche questo dell'aritmetica tropicale. Interessante...
Meme_unicorno_a2b2.png (49.29 KiB) Visto 71487 volte
se invece fosse a>2 entrambi i risultati sarebbero pari a 2b
per il cubo, il ragionamento non cambia ... il risultato sarà il minore fra 3a e 3b
spero si capisca
Franco
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
Grazie Franco, si capisce e direi che è corretto.
Se non ho commesso errori, si può dimostrare anche così, esplicitando tutti i passaggi e le proprietà/definizioni usate:
(a ⊕ b)²
= (a ⊕ b) ⊙ (a ⊕ b); definizione di potenza ^2
= (a ⊙ a) ⊕ (a ⊙ b) ⊕ (b ⊙ a) ⊕ (b ⊙ b); distributività di ⊙ rispetto a ⊕
= (a + a) ⊕ (a + b) ⊕ (b + a) ⊕ (b + b); definizione di ⊙ in termini di +
= (2a) ⊕ (a + b) ⊕ (a + b) ⊕ (2b); proprietà di +
= min{2a, a + b, 2b}; definizione di ⊕ e sua proprietà associativa
= min{2a, 2b}; a + b non può essere minore sia di 2a sia di 2b
= a² ⊕ b²; 2a = a + a = a ⊙ a = a², stessa cosa per 2b, definizione di ⊕
