Mezza bottiglia (giochino)

[Gianfranco]

Hai una bottiglia a forma di mezzaluna con bocca, naso e occhi quasi piena di sciroppo di anice.
Ogni tanto prelevi un po' di liquido per preparare una bevanda.
Come puoi fare per sapere quando la bottiglia è piena a metà con una buona approssimazione?
Puoi usare solo un pennarello e fare al massimo tre segni sulla bottiglia.
Uno dei tre segni deve indicare il livello che corrisponde alla metà della capacità della bottiglia.

bottiglia1p.jpg (26.28 KiB) Visto 74853 volte

[franco]

La bottiglia sembra avere un piano di simmetria verticale.

Inoltre è evidentemente una bottiglia realizzata con uno stampo (e non soffiata e modellata a mano).
Quindi ci sarà un piccola "costa" nel vetro sul punto di giunzione degli stampi (sulla schiena della mezzaluna, per capirci).
Se metto la bottiglia in orizzontale, quella costa mi indica la metà.

Però è in sistema molto impreciso: è difficile mettere la bottiglia perfettamente in orizzontale e la superficie del pelo libero del liquido aumenta notevolmente per cui anche un solo millimetro di altezza fa una bella differenza di volume.

Quindi farei una cosa diversa, partendo dalla bottiglia in foto che è piena più o meno per 3/4:
Segno col pennarello il livello attuale.
Metto la bottiglia a testa in giù e segno nuovamente il livello del liquido.
Con un righello (o a occhio, tanto si chiede una roba approssimativa), faccio un segno a metà fra i due precedenti.
Questo terzo segno è pressappoco l'indicatore di mezza bottiglia.

Naturalmente la precisione è tanto maggiore quanto il liquido è prossimo alla metà.
Se facessi l'operazione con la bottiglia piena avrei un pessimo risultato.

ciao

[Gianfranco]

Metto la bottiglia a testa in giù e segno nuovamente il livello del liquido.

Esatto, Franco.
L'obiettivo ottimo è quello di tracciare un segno nel punto in cui arriva il livello del liquido sia con la bottiglia "dritta" sia con la bottiglia "capovolta".
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Ma anche l'altra tua proposta è interessante: infatti quella bottiglia è stampata e si vede bene la linea di giunzione delle due parti che sono simmetriche, per quanto si può valutare a occhio. In questo caso si può trovare la metà senza tracciare segni.

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Facendo riferimento alla figura seguente, come si può argomentare matematicamente che, data una qualsiasi (?) forma, esiste un livello x (piano) che divide il suo volume a metà?
Oppure: per quali forme ciò è possibile? Possiamo anche esaminare il caso 2D che forse è più semplice.

bott_fig0p.jpg (22.08 KiB) Visto 74682 volte

[franco]

Facendo riferimento alla figura seguente, come si può argomentare matematicamente che, data una qualsiasi (?) forma, esiste un livello x (piano) che divide il suo volume a metà?
Oppure: per quali forme ciò è possibile? Possiamo anche esaminare il caso 2D che forse è più semplice.

Mah,
Non saprei bene come argomentarlo matematicamente, ma a me sembra indiscutibile che versando 1 litro d'acqua in una normale bottiglia con volume interno di 2 litri il livello del liquido sia univoco
Se la bottiglia ha forme particolari (a sifone, a spirale con asse orizzontale, ...) può essere molto più complicato.

OFF TOPIC (parziale)
Le bottiglie in vetro comunemente usate per acqua minerale, birra, bibite, ecc... sono normate come "recipienti misura".
Se guardate vicino alla base o sul fondo, potete vedere, in rilievo, dei caratteri come (ad esempio) $50 cl ... 56 mm$.
Questo significa che la bottiglia contiene esattamente 50 cl se riempita sino a 56 mm dall'orlo superiore della bocca.
Grazie a ciò, le aziende che le usano possono verificare il contenuto minimo legale in tutte le bottiglie prodotte con semplici sistemi di rilevazione ottici o a raggi X

[Gianfranco]

Se guardate vicino alla base o sul fondo, potete vedere, in rilievo, dei caratteri come (ad esempio) $50 cl ... 56 mm$.
Questo significa che la bottiglia contiene esattamente 50 cl se riempita sino a 56 mm dall'orlo superiore della bocca.

Grazie Franco per la nota sulle bottiglie, interessante.

Per quel che riguarda l'argomentazione matematica, cerco di formulare la domanda in modo più preciso come segue.
Provate a dare una dimostrazione intuitiva del seguente teorema:

Teorema 1. Dato un qualunque solido e dato un qualunque piano α, esiste un piano β parallelo al piano α che divide il solido in due parti equivalenti (cioè che hanno lo stesso volume).

Oppure del caso più semplice a due dimensioni:

Teorema 2. Data una qualunque figura piana e data una qualunque retta r, esiste una retta parallela alla retta r che divide la figura in due parti equivalenti (cioè che hanno la stessa area).

A quanto pare, ciascuna delle parti in cui sono divise le figure non deve essere necessariamente connessa (?).

Secondo me, sono lemmi del cosiddetto Ham Sandwich Theorem (Teorema del panino al prosciutto):

Teorema del panino al prosciutto. I volumi di n solidi a n dimensioni si possono sempre bisecare con un iperpiano a n-1 dimensioni.

Su quest'ultimo si trova abbondante documentazione in internet ma sui primi due non ho trovato molto.

[Gianfranco]

Per la bottiglia reale in situazione reale, forse QUALSIASI forma non va bene perché se per esempio la bottiglia ha 2 o più "fondi", quando si capovolge, il liquido si potrebbe distribuire in modo da raggiungere livelli diversi nelle varie diramazioni. Vedi figura.
Quindi la domanda è da precisare meglio.
Invece, per il solido di "qualsiasi" forma ci sono meno restrizioni: ma quali?
Oppure non ce n'è nessuna?

bott_strana.jpg (20.98 KiB) Visto 72356 volte