La città triangolare di Alcuino da York

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Gianfranco
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La città triangolare di Alcuino da York

Messaggio da Gianfranco »

Cari amici, ultimamente abbiamo raggiunto risultati davvero buoni, secondo me straordinari, in problemi di "packing".
Perciò oso proporvi un problema, antico ma ancora aperto, di Alcuino da York che per me è rimasto in sospeso.
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XXVIII. PROPOSIZIONE SU UNA CITTA' TRIANGOLARE.
C'è una città triangolare che su un lato misura 100 piedi, sull'altro lato 100 piedi e sulla base 90 piedi.
Voglio costruirvi delle case, in modo che ogni casa sia lunga 20 piedi e larga 10.
Dica, chi può, quante case può contenere la città?
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Una soluzione è 16 ed è rappresentata nella figura seguente.
Alcuin_triangula.png
Alcuin_triangula.png (20.33 KiB) Visto 1838 volte
Il problema è: si può migliorare?
Oppure dimostrare che 16 è il massimo?
Oppure trovare un'altra soluzione equivalente ma più carina?
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Maurizio59
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Re: La città triangolare di Alcuino da York

Messaggio da Maurizio59 »

Alcune riflessioni Alcuine.
Quando vidi per la prima volta questo problema mi colpì la particolarità delle forme e le loro dimensioni.
Mi chiesi subito quale fosse l'idea dietro ad una simile scelta.
Consideriamo il fatto che intuitivamente si tende ad accostare i rettangoli disponendoli a contatto con la base del triangolo e poi ad impilarli.
Supponiamo che Alcuino volesse evitare soluzioni troppo semplici come quella in figura, dove l'altezza H del triangolo è uguale alla base B.

Immagine

Con Pitagora si può trovare il lato obliquo del triangolo. Esso è $L = \frac{\sqrt5}{2}B = 1.118...B$
Questa disposizione può essere evitata se imponiamo la condizione L < 1.118...B.
Scegliendo i valori L = 10 (o 100) e B = 9 (o 90) otteniamo un valore molto vicino (L = 1.1111...B) in modo che non sia facile visivamente individuare l'errore.
Questo implica che ogni soluzione non può avere 4 rettangoli disposti a contatto con la base lungo il loro lato di lunghezza 2 (o 20).

Gianfranco
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Re: La città triangolare di Alcuino da York

Messaggio da Gianfranco »

Grazie Maurizio59 e bella la soluzione QUASI giusta!
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Questa è la soluzione di Alcuino.
I due lati della città uniti misurano 200 piedi; la metà di 200 è 100. Ma poiché la base misura 90 piedi, la metà di 90 è 45. E poiché la lunghezza di ogni casa è di 20 piedi, mentre la larghezza è di 10, dividi 100 per 20, ottenendo 5. La decima parte di 40 è 4, allora moltiplica 5 per 4, ottenendo 20. In questo modo la città può contenere 20 case.
Secondo me, a una prima interpretazione, Alcuino propone una semplice divisione di aree senza tentare di fare "impaccamenti".
E approssima, direi abbastanza bene, l'area del triangolo a quella di un rettangolo formato da 5*4=20 case. Ma evita di usare il teorema di Pitagora, che conosceva certamente.
AlcuinTriangolo.png
AlcuinTriangolo.png (29.27 KiB) Visto 1611 volte
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Su Alcuino e su Beda ho alcune idee fantascientifiche che forse prima o poi dirò.
Nascono dalla considerazione che nei loro scritti compaiono improvvisamente per la prima volta nella storia certi problemi matematici incredibilmente attuali oggi.
Però loro danno delle soluzioni (volutamente?) ingenue o con qualche errore.
Cosa sapevano veramente?
Da chi hanno ricevuto questi problemi?
Mi fermo qui.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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