6 monete

[Paolo32]

Ho 6 monete, una è falsa, quella falsa ha un peso diverso da quelle vere ma non si sa se pesi di più o di meno. Come posso determinare quale sia la moneta falsa e se pesi di più o di meno con tre pesate su una bilancia per oro che dia il valore preciso delle monete?

[franco]

Ciao Paolo,

se capisco bene, la bilancia è di quelle moderne, con un unico piatto e l'indicazione del peso su un display.

o sbaglio?

[Paolo32]

Esatto, un solo piatto e l'indicazione diretta del peso.

[newdelfo]

peso 2 monete A+B = 30 (metto un risultato per farmi capire)
peso altre due monete C+D
i casi sono 3 :
C+D=30
C+D=31
C+D=29
se è 30, peso la moneta E; se pesa 15, la falsa è F ; se pesa 14 o 16 la falsa è E
se è 31, peso la moneta E; se pesa 15, la falsa è C o D ; se pesa 15,5 la falsa è A o B
se è 29, il ragionamento è lo stesso.
in ogni caso con una quarta pesata trovo la falsa.
Forse si può fare meglio

[Gianfranco]

Grazie Enrico!
Ho esplorato anch'io alcune possibili soluzioni ma in certi casi mi servono 4 pesate.
Attendo l'illuminazione.

[giobimbo]

Nel capitolo “Bilance con scala graduata” di Basecinque questo è il problema 4 e Ivan D’Avanzo ha dato una soluzione quasi completa, forse da essa si può trarne ispirazione…

[Gianfranco]

Grazie Giobimbo per averci ricordato una pagina "storica" di BASE Cinque!
Ero andato anch'io a rivederla, ma a quanto pare c'è un caso in cui il problema non è risolto completamente.
Non ho saputo migliorarlo.

[giobimbo]

Indichiamo con p il peso di una qualsiasi delle 5 monete dello stesso peso, con Pi (per i=1, 2, 3) le pesate che facciamo.
Suddividiamo le sei monete in coppie ottenendo i tre insiemi:
{A,B} {C,D} {E,F}
Siano P1 e P2 le pesate di due coppie qualsiasi. Se P1=P2 allora p=P1/2=P2/2 e la moneta falsa sarà nella terza coppia per cui pesando una qualsiasi moneta di tale coppia scopriremo qual è (ma non quanto vale) la moneta falsa. Esaminiamo quindi il “peggior caso possibile” ovvero con P1 diversa da P2. Come ha fatto newdelfo assegno dei pesi casuali alle monete per far meglio seguire il ragionamento.

Sia p=2 e 3 il peso della moneta falsa con A=B=C=E=F=2 e D=3.
P1 = A+B=4
P2 = C+D=5
da cui ricaviamo che p=2 oppure 2,5
P3 = una moneta della prima coppia, una della seconda e ambedue le monete della terza coppia. Abbiamo diversi casi:
1) A+C+(E+F)=8 p=2 va bene ma p=2,5 no
2) A+D+(E+F)=9 p=2,5 non va bene allora p=2
3) B+C+(E+F)=8 p=2 va bene ma p=2,5 no
4) B+D+(E+F)=9 p=2,5 non va bene allora p=2

Abbiamo dunque A=B=C=E=F=2 e da P2=C+D=5 troviamo che D=3.

Stesso procedimento nel caso che D=1 cioè con la moneta falsa di peso minore delle altre.
Spero che qualcuno riesca a migliorare tale risultato.

[giobimbo]

La prima volta che Gianfranco espose questo argomento dopo alcuni tentativi lo abbandonai classificandolo come impossibile, ora che me lo ritrovo tra i piedi chiedo a Paolo32 due cose, da dove ha preso tale problema e se lui ha trovato la soluzione. Grazie.

[Gianfranco]

... classificandolo come impossibile ,,,chiedo a Paolo32 due cose, da dove ha preso tale problema e se lui ha trovato la soluzione. Grazie.

Mi associo alla tua richiesta a Paolo32.
Però penso anche, se è davvero impossibile, che sarebbe bello riuscire a dimostrarlo.

[Maurizio59]

Penso di aver trovato la soluzione.
Consideriamo le 3 pesate:
$$P_1=P_A+P_B+P_C$$ $$P_2=P_C+P_D+P_E$$ $$P_3=P_A+P_D+P_F$$ Ora facciamo le seguenti ipotesi:
Se A è falsa abbiamo $P_1=P_3\not=P_2$ possiamo ricavare il peso della moneta A $(3P_1-2P_2=3P_A)$ e verificare se l'ipotesi è corretta.
Se B è falsa abbiamo $P_2=P_3\not=P_1$ possiamo ricavare il peso della moneta B $(3P_1-2P_2=3P_B)$ e verificare se l'ipotesi è corretta.
Se C è falsa abbiamo $P_1=P_2\not=P_3$ possiamo ricavare il peso della moneta C $(3P_1-2P_3=3P_C)$ e verificare se l'ipotesi è corretta.
Se D è falsa abbiamo $P_2=P_3\not=P_1$ possiamo ricavare il peso della moneta D $(3P_2-2P_1=3P_D)$ e verificare se l'ipotesi è corretta.
Se E è falsa abbiamo $P_1=P_3\not=P_2$ possiamo ricavare il peso della moneta E $(3P_2-2P_1=3P_E)$ e verificare se l'ipotesi è corretta.
Se F è falsa abbiamo $P_1=P_2\not=P_3$ possiamo ricavare il peso della moneta F $(3P_3-2P_1=3P_F)$ e verificare se l'ipotesi è corretta.
Spero di non aver commesso errori logici.

[Paolo32]

Non ho la soluzione completa, spero che qualcuno la trovi.

[Gianfranco]

Consideriamo le 3 pesate:
$$P_1=P_A+P_B+P_C$$ $$P_2=P_C+P_D+P_E$$ $$P_3=P_A+P_D+P_F$$ Ora facciamo le seguenti ipotesi:
Se A è falsa abbiamo $P_1=P_3\not=P_2$ possiamo ricavare il peso della moneta A $(3P_1-2P_2=3P_A)$ e verificare se l'ipotesi è corretta.
Se B è falsa abbiamo $P_2=P_3\not=P_1$ possiamo ricavare il peso della moneta B $(3P_1-2P_2=3P_B)$ e verificare se l'ipotesi è corretta.
Se C è falsa abbiamo $P_1=P_2\not=P_3$ possiamo ricavare il peso della moneta C $(3P_1-2P_3=3P_C)$ e verificare se l'ipotesi è corretta.
Se D è falsa abbiamo $P_2=P_3\not=P_1$ possiamo ricavare il peso della moneta D $(3P_2-2P_1=3P_D)$ e verificare se l'ipotesi è corretta.
Se E è falsa abbiamo $P_1=P_3\not=P_2$ possiamo ricavare il peso della moneta E $(3P_2-2P_1=3P_E)$ e verificare se l'ipotesi è corretta.
Se F è falsa abbiamo $P_1=P_2\not=P_3$ possiamo ricavare il peso della moneta F $(3P_3-2P_1=3P_F)$ e verificare se l'ipotesi è corretta.
Spero di non aver commesso errori logici.

Maurizio59, temo che non funzioni, ma potrei sbagliare.
Facciamo una prova...
---
Supponiamo che le monete pesino:
1, 2, 2, 2, 2, 2
Quella falsa è più leggera ma nel seguito NON dobbiamo usare questa informazione per individuarla.

Seguiamo il tuo procedimento.
P1=5
P2=6
P3=5
Da qui in avanti possiamo usare SOLO queste tre informazioni.

Abbiamo che:
P1=P3<>P2

Come si vede dal tuo schema, ci sono due possibilità:

1) La moneta falsa è la A ed è quella più leggera, da cui otteniamo:
PA=(15-12)/3=1

2) La moneta falsa è la E ed è quella più pesante, da cui otteniamo:
PE=(18-10)/3=8/3

Quale delle due possibilità dobbiamo scegliere?
Non lo sappiamo.

[franco]

...
Se A è falsa abbiamo $P_1=P_3\not=P_2$ possiamo ricavare il peso della moneta A $(3P_1-2P_2=3P_A)$ e verificare se l'ipotesi è corretta.
Se B è falsa abbiamo $P_2=P_3\not=P_1$ possiamo ricavare il peso della moneta B $(3P_1-2P_2=3P_B)$ e verificare se l'ipotesi è corretta.
Se C è falsa abbiamo $P_1=P_2\not=P_3$ possiamo ricavare il peso della moneta C $(3P_1-2P_3=3P_C)$ e verificare se l'ipotesi è corretta.
Se D è falsa abbiamo $P_2=P_3\not=P_1$ possiamo ricavare il peso della moneta D $(3P_2-2P_1=3P_D)$ e verificare se l'ipotesi è corretta.
Se E è falsa abbiamo $P_1=P_3\not=P_2$ possiamo ricavare il peso della moneta E $(3P_2-2P_1=3P_E)$ e verificare se l'ipotesi è corretta.
Se F è falsa abbiamo $P_1=P_2\not=P_3$ possiamo ricavare il peso della moneta F $(3P_3-2P_1=3P_F)$ e verificare se l'ipotesi è corretta.
...

Anche secondo me non torna ... la condizione $P_1=P_3\not=P_2$ si presenta sia per A falsa che per E falsa; come faccio a capire qual è delle due?
(lo stesso avviene anche per la 2^ e 4^ riga e per la 3^ e 6^ riga)

... sempre che abbia capito bene

[Maurizio59]

Avete ragione.
La mia soluzione funziona solo nel caso si sappia in anticipo se la moneta falsa pesa di più o di meno delle altre.