Quiz

[panurgo]

Dal blog di Tanya Khovanova

Quiz. Ci sono 100 carte con gli interi da 1 a 100. Abbiamo tre possibili scenari: peschiamo 18, 19 o 20 carte a caso. Per ciascuno scenario, dire se la probabilità che la somma delle carte pescate sia pari è maggiore, uguale o minore di ½.

[franco]

Pescando 19 carte direi che la probabilità di una somma pari è esattamente il 50%.

Le possibili combinazioni di carte pari e dispari nelle 19 estratte sono esattamente simmetriche per cui non c'è alcun motivo perchè un risultato prevalga sull'altro:

quiz19.PNG (36.81 KiB) Visto 101763 volte

Per gli altri due casi ci devo pensare un po' ...

[Quelo]

Come dice giustamente Franco, con 19 carte le combinazioni di carte con somma pari sono le stesse di quelle con sommma dispari, quindi la probabilità che la somma sia pari è del 50%

Per il caso 18 carte dobbiamo ragionare in questo modo:

Le combinazioni di 18 carte pari, che sono $\displaystyle C_{18p}=\binom{50}{18}$ e hanno somma pari, si sommano con quelle di 18 carte dispari, anch'esse con somma pari
A queste dobbiamo aggiungere quelle con 16 carte pari e 2 dispari, che sono $\displaystyle C_{16p+2d}=\binom{50}{16}\binom{50}{2}$, e le corrispondenti $\displaystyle C_{2p+16d}$ , tutte pari
e così via fino a $\displaystyle C_{10p+8d}$ e $\displaystyle C_{8p+10d}$

Per le combinazioni con somma dispari vale lo stesso ragionamento da $\displaystyle C_{17p+1d}=\binom{50}{17}\binom{50}{1}$ e $\displaystyle C_{1p+17d}$ fino a $\displaystyle C_{9p+9d}=\binom{50}{9}\binom{50}{9}$ che si conta una volta sola

Le combinazioni totali sono $\displaystyle C_t=\binom{100}{18}$

Limitandoci alle pari

$\displaystyle P_p=\frac{2\left[\binom{50}{18}+\binom{50}{16}\binom{50}{2}+\binom{50}{14}\binom{50}{4}+\binom{50}{12}\binom{50}{6}+\binom{50}{10}\binom{50}{8}\right)]}{\binom{100}{18}}=\frac{6119601329}{12239202659}=49.99999999591477\%$

Con 20 carte la probabilità invece è a favore della somma pari

$\displaystyle P_p=\frac{2\left[\binom{50}{20}+\binom{50}{18}\binom{50}{2}+\binom{50}{16}\binom{50}{4}+\binom{50}{14}\binom{50}{6}+\binom{50}{12}\binom{50}{8}\right]+\binom{50}{10}\binom{50}{10}}{\binom{100}{18}}=\frac{26088826720}{52177653441}=50.000000000958266\%$

--- aggiornamento ---
Nella formula sopra c'è un errore di trascrizione, nell'ultima frazione ho riportato il valore del dispari invece che del pari, questa è la formula corretta

$\displaystyle P_p=\frac{2\left[\binom{50}{20}+\binom{50}{18}\binom{50}{2}+\binom{50}{16}\binom{50}{4}+\binom{50}{14}\binom{50}{6}+\binom{50}{12}\binom{50}{8}\right]+\binom{50}{10}\binom{50}{10}}{\binom{100}{20}}=\frac{\mathbf{26088826721}}{52177653441}=50.000000000958266\%$

SE&O

[franco]

Sergio,
A occhio direi che la seconda frazione (quella delle 20 carte) è lievemente minore di 1/2 ...
Moltiplicando per 2 il numeratore si ottiene un numero inferiore (di una unità) al denominatore.
O sbaglio?

[Quelo]

Ciao Franco,
grazie per la segnalazione, ho aggiornato il messaggio

[Gianfranco]

Sergio, ci sarebbe da correggere anche il binomiale al denominatore della seconda: $\Large \binom{100} {20}$
Il risultato finale, comunque, è quello giusto.

[Quelo]

Fatto

[Gianfranco]

Fatto

Grazie Sergio, davvero un bel lavoro! Scusa se ti abbiamo importunato con segnalazioni di refusi.
Per me, la tua soluzione è stata utilissima e illuminante.
Buon 2024