Indichiamo con (A, B, C) un segmento le cui estremità sono i punti A e C, mentre B è il punto centrale, con A, B e C elementi distinti dell’insieme E={1, 2, 3}.
Siano S1 e S2 segmenti paralleli. Colleghiamo ogni coppia di punti, uno di S1 e uno di S2 che abbiano lo stesso numero, con una linea che chiamiamo “ponte”. Vogliamo che i ponti non si intersechino e neppure intersechino i segmenti, inoltre i tratti iniziali e finali di tale linea sono perpendicolari al segmento che toccano.
Ponendo S1=(1, 2, 3) i possibili segmenti S2 sono:
(1, 2, 3)
(1, 3, 2)
(2, 1, 3)
(2, 3, 1)
(3, 1, 2)
(3, 2, 1)
i quali ci danno le sottostanti 6 figure:
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Come si vede ogni figura è formata da due regioni con un confine in comune; una terza regione che le contiene ambedue è il piano su cui sono disegnate. Nel problema originario i ponti non hanno punti di partenza e arrivo a scelta ma hanno direzione prefissata. Indichiamo con Ax (oppure Bx, Cx) il ponte che partendo da un segmento si dirige subito verso il segmento di fronte, mentre con Ay (oppure By, Cy) indichiamo il ponte che parte in direzione opposta.
Allora quando una coppia collegata è impossibile?
Se ambedue gli estremi del ponte stanno in due sole regioni allora ognuno di essi può avere l’indice x o l’indice y e il collegamento è sempre possibile.
Se uno degli estremi sta in tre regioni invece, cambiare un suo indice da x a y (o viceversa) rende il collegamento impossibile perché tale ponte intersecherebbe il confine tra due regioni. Unico tale punto guastafeste è quello centrale per cui abbiamo 4 casi possibili:
S1 Bx, S2 Bx
S1 Bx, S2 By
S1 By, S2 Bx
S1 By, S2 By
Dati due segmenti con S1=(A, B, C) colleghiamo A e C di S1 con A e C di S2, cosa sempre possibile. Invece collegare B con B sarà 2 volte possibile e 2 no.
Il Caso A del Forum corrisponde alla figura F6, con
S1 2y e S2 2x;
invertendo gli indici di B otteniamo il “Caso B” del Forum ovvero
S1 2x e S2 2y
due casi dai collegamenti possibili. Se invertiamo solo un indice del punto centrale otteniamo il “Caso C” del Forum con
S1 2x e S2 2x
più
S1 2y e S2 2y
la cui figura non c’è nel Forum ma i cui collegamenti sono impossibili senza incroci come facilmente constatabile.
In conclusione allora vediamo che data una figura coi collegamenti senza incroci invertendo ambo gli indici dei punti centrali otteniamo ancora una figura senza incroci. Invertendo solo un indice invece abbiamo una figura con incroci di linee.
