Una pila di monete

[franco]

Sul tavolo c'è una pila di k monete identiche.
Il gioco fra Ale e Bea consiste nel dividere a turno una pila in due, purchè di altezze diverse.
Ad esempio, partendo con k=8, il primo giocatore può dividerla in due pile da 5 e 3 (non da 4 e 4); il secondo può decidere quale delle due pile dividere ulteriormente formandone tre, e così via. Vince l'ultimo che riesce a fare una divisione valida.

1. Se k=14 e Ale inizia, chi vincerà la partita?
2. Se k=15 e Bea inizia, chi vincerà la partita?

www.diophante.fr
E461

[Alessandro B]

Con k=14 se inizia Ale vince formando due pile una da 13 monete ed una formata da una sola moneta

Con k=15 se inizia Bea vince formando due pile una da 13 monete ed una formata da 2 monete


Il mio ragionamento si basa sul fatto che chi inizia con una pila di 13 monete perde.
Sono partito da una pila di 1 sola moneta dove chiaramente si perde,
anche con una pila di 2 monete si perde perché non ci sono divisioni valide,
con una pila di 3 monete si vince formando 2 pile, una con una moneta ed una con due monete.
Con una pila di 4 monete si perde perché si è costretti a formare una pila di 3 che lascia la vittoria all'avversario
Con una pila di 5 monete si vince spostando una sola moneta e lasciando all'avversario una pila da 4 monete (che è perdente)
Con una pila di 6 monete si vince spostando due monete e lasciando all'avversario una pila da 4 monete (che è perdente)
E cosi via fino ad una pila di 13 monete che mi pare faccia perdere chi inizia...

[Alessandro B]

Correggo la mia soluzione:

Con k=14 vince chi inizia, ma per un altro motivo,
infatti anche con k=13 vince chi inizia, gli basta dividere le monete in una pila da 5 ed una da 8 (che è una situazione perdente)

Ma con k=14 si può vincere,
dividendo la pila in due pile uguali di 7 monete (anche questa è una situazione perdente)

e con k=15 si vince dividendo le monete in una pila da 6 ed una da 9 (altra situazione perdente)

[franco]

...
Ma con k=14 si può vincere,
dividendo la pila in due pile uguali di 7 monete (anche questa è una situazione perdente)
...

Dividere una pila in due pile uguali non è una mossa valida

[Alessandro B]

Hai ragione, mi era sfuggito


Comunque con k=14 si può vincere, dividendo le monete in una pila da 10 ed una da 4