Le carte Dobble

[Gianfranco]

Dobble è un gioco di carte da 2-8 giocatori, dai 6 anni in su.
Un mazzo è formato da un certo numero di carte: quante al massimo? (questa è la domanda!)
Sulle carte sono disegnati dei simboli in base alle seguenti regole:

1. Ogni carta del mazzo contiene un certo numero $n$ di simboli ($n$ è lo stesso per tutte le carte del mazzo).

2. Ogni coppia di carte ha in comune uno e un solo simbolo.

Nella figura si vede un esempio di carte con $n=8$ simboli.

dobble_p.png (64.96 KiB) Visto 21205 volte

La domanda è: quante sono al massimo le carte di un mazzo di Dobble nel caso in cui su ogni carta siano presenti esattamente $n$ simboli?
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Spero di aver spiegato bene il problema perché non conosco Dobble ma mi piace il problema!
Questo problema è stato posto da Matteo Silimbani e Alberto Saracco in varie sedi (Facebook, Youtube etc).

[Bruno]

Non conoscevo neanch'io questo gioco, ma mi è capitato di vedere i video di Alberto Saracco & C.

Tra l'altro, questo geometra è un amico dei fumetti

[delfo52]

sicuri che c'è un limite?

[panurgo]

Direi che le carte con $n$ simboli sono $n+1$.
Per semplicità uso i simboli che rappresentano i numeri naturali: ecco come costruire le carte

$(1),(1)$

$(1,2),(1,\phantom{3}),(2,\phantom{3})\\(1,2),(1,3),(2,3)$

$
(1,2,3),(1,\phantom{4},\phantom{5}),(2,\phantom{4},\phantom{6}),(3,\phantom{5},\phantom{6})\\
(1,2,3),(1,4,5),(2,4,\phantom{6}),(3,5,\phantom{6})\\
(1,2,3),(1,4,5),(2,4,6),(3,5,6)
$

$
(1,2,3,4),(1,\phantom{5},\phantom{6},\phantom{7}),(2,\phantom{5},\phantom{8},\phantom{9}),(3,\phantom{6},\phantom{8},\phantom{10}),(4,\phantom{7},\phantom{9},\phantom{10})\\
(1,2,3,4),(1,5,6,7),(2,5,\phantom{8},\phantom{9}),(3,6,\phantom{8},\phantom{10}),(4,7,\phantom{9},\phantom{10})\\
(1,2,3,4),(1,5,6,7),(2,5,8,9),(3,6,8,\phantom{10}),(4,7,9,\phantom{10})\\
(1,2,3,4),(1,5,6,7),(2,5,8,9),(3,6,8,10),(4,7,9,10)
$

ecc.

[panurgo]

Prendo a prestito da Gianfranco la sua figura

LeCarteDiDobble.01.png (44.17 KiB) Visto 21160 volte

Rappresentiamo ogni carta con il nodo, e ogni coppia di simboli con l’arco, di un grafo: dato che ogni carta ha in comune con ogni altra carta uno e un solo simbolo il grafo corrispondente è completo.

LeCarteDiDobble.02.png (9.8 KiB) Visto 21160 volte

Ogni nodo è quindi connesso con tutti gli altri: poiché da ogni nodo partono $n$ archi, i nodi devono essere $n+1$.

[franco]

Direi che le carte con $n$ simboli sono $n+1$.

Credo di no ...
Ho giocato qualche partita a Dobble con i figli di mio fratello (che mi hanno sempre sonoramente battuto).
Le carte erano quelle mostrate nella figura, rotonde e con n=8 simboli per ciascuna ma vi posso assicurare che il mazzo aveva molte più di 9 carte.

edit: Per l'esattezza, le carte del gioco originale sono 55 (ma non è detto che sia il numero massimo possibile ...)

[Pasquale]

Pardon, come funziona il gioco? Quante persone possono partecipare? Per ogni mano di gioco, quante carte vengono distribuite? Opppure vengono date tutte le carte, con qualcuna già a terra e poi inizia il gioco? Penso che il vincitore sarà quello che avrà raccolto più carte.
Come si vince? Tirando giù la carta con un simbolo uguale a quelo dell'avversario?
Se fossero più persone a giocare, sarebbe possibile mettere insieme 2 mazzi di carte?

[franco]

Pardon, come funziona il gioco? ...

Secondo quanto riportato sulla confezione possono giocare da 2 a 8 persone.
Ci sono diverse modalità di gioco; il concetto base però è sempre lo stesso: identificare il simbolo in comune fra due carte che ne hanno 8.
Ogni coppia di carte ha uno (e uno solo) simbolo in comune.

Su wikipedia c'è un maggiore dettaglio delle regole:
https://it.wikipedia.org/wiki/Dobble

ciao

[bautz]

Ciao a tutti, quesito interessante ma manca di un dato: ovvero quanti sono i simboli totali nel mazzo.
Ma sembra, come tutti avete già ipotizzato, che i simboli totali nel mazzo dipendono dal numero di simboli per carta...

[bautz]

Provo ad aggiungere un altro pezzetto di ragionamento, affrontando il sistema dal fianco.
La domanda iniziale é: quale é il numero massimo di carte (uniche) dati n simboli per carta?
La domanda così posta non può avere risposta.
Ad esempio, supponiamo:

• per $n=8$ ho $X$ carte

• per $n=7$ ho $Y$ carte

• ma se per ognuna delle carte con 7 simboli aggiungo 1 nuovo simbolo, non presente in nessuna altra carta, ecco che ho $n=8$ simboli per carta, ma con $Y$ carte

per cui, per n=8 potrei avere $X$ pezzi o $Y$ pezzi

Potendo dettagliare meglio potremmo dire che ogni simbolo deve comparire almeno 2 volte.
Oppure che tutti i simboli devono apparire lo stesso numero di volte in totale.