Infinite soluzioni.

[Bruno]

Ho trovato questa equazione diofantea:
(x·y)² + (2·y)² = z² + 1
in un post di fb scritto da Domenico Annunziata.

Non è facile da trattare in modo completo.

Molto più abbordabile (e divertente, oltreché istruttivo - per me almeno lo è stato) è invece la ricerca di infinite soluzioni intere positive, non tutte

[Quelo]

Carino, una possibile soluzione é

$\displaystyle x=5(2k-1)$

$\displaystyle y=50k(k-1)+13$

$\displaystyle z=10(50k^3-75k^2+39k-7)$

[Bruno]

Certo, ma ben più importante è il metodo seguito per trovarla

[Quelo]

Sì, sì, per tentativi

[Bruno]

Interessante.
Che tipo di tentativi?

[Quelo]

Ho scritto un programmino veloce per trovare i risultati interi

Codice: Seleziona tutto

from math import sqrt

x0 = 1
x1 = 100
y0 = 1
y1 = 10000

for x in range(x0,x1+1):
    for y in range(y0,y1+1):
        z2 = (x*y)**2+(2*y)**2-1
        z = sqrt(z2)
        if round(z)==z:
            print (f'x={x}, y={y}, z={z}, z^2={z2}')

Si vede subito che:
- Per x pari non ci sono soluzioni
- Ogni x dispari ha almeno 1 soluzione
- Il valore minimo di y segue una logica

Codice: Seleziona tutto

x=1, y=1, z=2.0, z^2=4
x=1, y=17, z=38.0, z^2=1444
x=1, y=305, z=682.0, z^2=465124
x=1, y=5473, z=12238.0, z^2=149768644
x=3, y=5, z=18.0, z^2=324
x=3, y=6485, z=23382.0, z^2=546717924
x=5, y=13, z=70.0, z^2=4900
x=7, y=25, z=182.0, z^2=33124
x=9, y=41, z=378.0, z^2=142884
x=11, y=61, z=682.0, z^2=465124
x=13, y=85, z=1118.0, z^2=1249924
x=15, y=113, z=1710.0, z^2=2924100
x=17, y=145, z=2482.0, z^2=6160324
x=19, y=181, z=3458.0, z^2=11957764
x=21, y=221, z=4662.0, z^2=21734244
x=23, y=265, z=6118.0, z^2=37429924
x=25, y=313, z=7850.0, z^2=61622500
x=27, y=365, z=9882.0, z^2=97653924
x=29, y=421, z=12238.0, z^2=149768644
x=31, y=481, z=14942.0, z^2=223263364
x=33, y=545, z=18018.0, z^2=324648324
x=35, y=613, z=21490.0, z^2=461820100
x=37, y=685, z=25382.0, z^2=644245924
x=39, y=761, z=29718.0, z^2=883159524
x=41, y=841, z=34522.0, z^2=1191768484
x=43, y=925, z=39818.0, z^2=1585473124
x=45, y=1013, z=45630.0, z^2=2082096900
x=47, y=1105, z=51982.0, z^2=2702128324
x=49, y=1201, z=58898.0, z^2=3468974404
x=51, y=1301, z=66402.0, z^2=4409225604
x=53, y=1405, z=74518.0, z^2=5552932324
x=55, y=1513, z=83270.0, z^2=6933892900
x=57, y=1625, z=92682.0, z^2=8589953124
x=59, y=1741, z=102778.0, z^2=10563317284
x=61, y=1861, z=113582.0, z^2=12900870724
x=63, y=1985, z=125118.0, z^2=15654513924
x=65, y=2113, z=137410.0, z^2=18881508100
x=67, y=2245, z=150482.0, z^2=22644832324
x=69, y=2381, z=164358.0, z^2=27013552164
x=71, y=2521, z=179062.0, z^2=32063199844
x=73, y=2665, z=194618.0, z^2=37876165924
x=75, y=2813, z=211050.0, z^2=44542102500
x=77, y=2965, z=228382.0, z^2=52158337924
x=79, y=3121, z=246638.0, z^2=60830303044
x=81, y=3281, z=265842.0, z^2=70671968964
x=83, y=3445, z=286018.0, z^2=81806296324
x=85, y=3613, z=307190.0, z^2=94365696100
x=87, y=3785, z=329382.0, z^2=108492501924
x=89, y=3961, z=352618.0, z^2=124339453924
x=91, y=4141, z=376922.0, z^2=142070194084
x=93, y=4325, z=402318.0, z^2=161859773124
x=95, y=4513, z=428830.0, z^2=183895168900
x=97, y=4705, z=456482.0, z^2=208375816324
x=99, y=4901, z=485298.0, z^2=235514148804

Ad esempio per x che termina con 5 abbiamo il risutato visto prima (x=5 --> y=13, x=x+10 --> y=y+100,+200,+300,...)

Codice: Seleziona tutto

x=5, y=13.0, z=70.0, z^2=4900
x=15, y=113.0, z=1710.0, z^2=2924100
x=25, y=313.0, z=7850.0, z^2=61622500
x=35, y=613.0, z=21490.0, z^2=461820100
x=45, y=1013.0, z=45630.0, z^2=2082096900
x=55, y=1513.0, z=83270.0, z^2=6933892900
x=65, y=2113.0, z=137410.0, z^2=18881508100
x=75, y=2813.0, z=211050.0, z^2=44542102500
x=85, y=3613.0, z=307190.0, z^2=94365696100
x=95, y=4513.0, z=428830.0, z^2=183895168900

Finale 1 segue la stessa logica (x=1 --> y=1, x=x+10 --> y=y+60,+160,+260,...) e così via per gli altri (3 --> +80, 7 --> +120, 9 --> +140)

[Info]

Bello il programma di Quelo per capire che x deve essere per forza dispari

io sono partito da questo per sostituire $x$ con $2t + 1$
$(2t+1+y)^2+4y^2=z^2+1$

risolvendo l'equazione ho ottenuto questo
$4t^2+4t+4ty+2y+5y^2=z^2$

a questo punto ho voluto vedere i risultati in funzione di t

$t=0 \rightarrow z^2=0+2y+5y^2$
$t=1 \rightarrow z^2=8+6y+5y^2$
$t=2 \rightarrow z^2=24+10y+5y^2$
$t=3 \rightarrow z^2=48+14y+5y^2$
$t=4 \rightarrow z^2=80+18y+5y^2$
$t=5 \rightarrow z^2=120+22y+5y^2$
$t=6 \rightarrow z^2=168+26y+5y^2$
$t=7 \rightarrow z^2=224+30y+5y^2$
$t=8 \rightarrow z^2=288+34y+5y^2$
$t=9 \rightarrow z^2=360+38y+5y^2$

a questo punto ho notato questo

per $y^2$ ho sempre 5

per $y$ ho questi coefficienti:
$[2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38]$

calcolando la differenza fra ogni termine e quello superiore di 4 ottengo
$[18 - 2, 22 - 6, 26 - 10, ...] $ che risulta sempre 16

per il primo valore ho seguito lo stesso ragionamento:
$[0, 8, 24, 48, 80, 120, 168, 224, 288, 360, ...]$

diventano
$[80 - 0, 120 - 8, 168 - 24, 224 - 48, 288 - 80, ...]$ quindi $[80, 112, 144, 176, 208, ...]$
divido per 16 per avere tutti i numeri dispari partendo da 5

a questo punto posso scrivere
$f(t+4)-f(t)=(5+2t)*16+16*y$

a questo punto dovrebbe essere molto piu semplice calcolare le varie soluzioni in funzione di y

[Quelo]

Nel caso particolare di $x=1$ avremo $\displaystyle 5y^2=z^2+1$

I valori di y seguono questo schema $\displaystyle y=a_n^2+a_{n-1}^2$ dove $\displaystyle a_n$ sono i denominatori della frazione continua di $\sqrt{5}$ (A001076)

Codice: Seleziona tutto

x=1, y=1, z=2, a=1, b=0
x=1, y=17, z=38, a=4, b=1
x=1, y=305, z=682, a=17, b=4
x=1, y=5473, z=12238, a=72, b=17
x=1, y=98209, z=219602, a=305, b=72
x=1, y=1762289, z=3940598, a=1292, b=305
x=1, y=31622993, z=70711162, a=5473, b=1292
x=1, y=567451585, z=1268860318, a=23184, b=5473
x=1, y=10182505537, z=22768774562, a=98209, b=23184
x=1, y=182717648081, z=408569081798, a=416020, b=98209
x=1, y=3278735159921, z=7331474697802, a=1762289, b=416020
x=1, y=58834515230497, z=131557975478638, a=7465176, b=1762289

[Bruno]

Bellissime esplorazioni

Si vede subito che:
- Per x pari non ci sono soluzioni

Questo fatto era già chiaro nell'equazione data: se x fosse pari, z sarebbe dispari e il membro destro risulterebbe divisibile solo per 2 e non per 4, che invece è un fattore del primo membro.


Come ho detto, mi sono limitato a cercare infinite soluzioni, non tutte, e mi è capitato di vederla come segue (con carta e penna).
Applico l'identità di Brahmagupta all'equazione:
y²·(x² + 4) = z² + 1,
esprimendo così il quadrato y² = (a² + b²)² = (a² - b²)² + (2·a·b)² - cioè tramite una terna pitagorica:
[(a² - b²)² + (2·a·b)²]·(x² + 2²) = [2·(a² - b²) + 2·a·b·x]² + [x·(a² - b²) - 4·a·b]².
Ora tratto la diofantea:
x·(a² - b²) - 4·a·b = 1
e osservo che, se fisso b = a - 1, ottengo subito:
x = 2·a - 1.
Dunque, oltre alla formula per x, trovo quelle per
y = a² + b² = 2·a² - 2·a + 1 = a² + (a - 1)²
e
z = 2·(a² - b²) + 2·a·b·x = 4·a³ - 6·a² + 6·a - 2 = 2·[a³ + (a - 1)³].
Infatti, simpaticamente, vale l'identità:
[ a² + (a - 1)² ]²·[ (2·a - 1)² + 4 ] = { 2·[ a³ + (a - 1)³ ] }² + 1.