Dal taccuino di viaggio.

[Bruno]

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Ho fotografato questa pagina di un mio taccuino.
Come interpretereste i sette numeri messi in evidenza e quali potrebbero essere i tre termini successivi

[bautz]

Direi che sono i multipli di 7 più piccoli per ogni numero di cifre.
1 cifra: 7
2 cifre: 14
ecc..
Quindi i prossimi 2 dovrebbero essere:
8 cifre: 10000004
9 cifre: 100000005

[Bruno]

Ottimo, bautz

Riesci a trovare una formula o un modo per generarli?

[Gianfranco]

In wxMaxima:

Codice: Seleziona tutto

for n:0 thru 15 do display ((floor(1+10^n/7))*7);

1*7=7
2*7=14
15*7=105
143*7=1001
1429*7=10003
14286*7=100002
142858*7=1000006
1428572*7=10000004
14285715*7=100000005
142857143*7=1000000001
1428571429*7=10000000003
14285714286*7=100000000002
142857142858*7=1000000000006
1428571428572*7=10000000000004
14285714285715*7=100000000000005
142857142857143*7=1000000000000001

[Quelo]

Notiamo che, tolto il 7 iniziale, la sequenza delle cifre è 4, 5, 1, 3, 2, 6

Questo si spiega se consideriamo il criterio di divisibilità secondo il quale: Un numero è divisibile per sette se lo è la somma delle somme con segni alterni: delle cifre di posizione congrua a zero, eccetera, eccetera
Se il numero di zeri è 6n, la somma delle unità e 3 volte 1 deve essere 7 (4)
Se il numero di zeri è 6n+1, la somma delle unità e 2 volte 1 deve essere 7 (5)
Se il numero di zeri è 6n+2, la differenza tra le unità e 1 deve essere 0 (1)
Se il numero di zeri è 6n+3, la differenza tra le unità e 3 volte 1 deve essere 0 (3)
Se il numero di zeri è 6n+4, la differenza tra le unità e 2 volte 1 deve essere 0 (2)
Se il numero di zeri è 6n+5, la somma tra le unità e 1 deve essere 7 (6)

[Bruno]

Fantastico.

Bella la sequenza trovata da Gianfranco, che richiama naturalmente lo sviluppo decimale di $\;\frac{1}{7}$: $\;7 \cdot \lfloor 1+ \frac{10^n}{7}\rfloor$.
Come l'hai dedotta?

Il metodo di Sergio è perfetto.

Poiché $\;${4, 5, 1, 3, 2, 6}$\;$ sono i valori restituiti ciclicamente da $ \;$10ⁿ mod 7, per n≥4, possiamo rappresentare tutti i numeri in questione anche così: $\;$10ⁿ+(6∙3ⁿ mod 7), assumendo n≥0.


A margine, si può trovare la funzione generatrice di questi numeri:
$7\cdot \frac{\large 1 - 9\cdot x + 3\cdot x^2 - x^3 - 3\cdot x^4}{\large 1 - 11\cdot x + 10\cdot x^2 + x^3 - 11\cdot x^4 + 10\cdot x^5}$,

dal cui denominatore ricaviamo la relazione ricorsiva omogenea:
$a_n = 11\cdot a_{n-1}-10\cdot a_{n-2}-a_{n-3}+11\cdot a_{n-4}-10\cdot a_{n-5}$,
a partire dai termini iniziali {7, 14, 105, 1001, 10003}.