La quadratura del triangolo

[Quelo]

Scomporre un triangolo anche non equilatero in 4 parti e ricomporlo come quadrato

[Bruno]

Molto carino

[Quelo]

In realtà lo stesso metodo si applica a qualsiasi triangolo, per cui rettifico il quesito

Suggerimento: per semplificare il procedimento scegliere un triangolo con area pari a n², per esempio base 2 e altezza 1, oppure base 9 e altezza 8

[Pasquale]

Intanto, ho visto che è molto più semplice triangolarizzare un quadrato in formato isoscele

[delfo52]

Martin Gardner ha parlato a lungo del problema. Ricordo che parlava di un tavolinetto s-componibile che, incernierato a dovere, poteva assumere la forma triangolare e quella quadrata. Personalmente feci quattro vaschette in terracotta smaltata, come porta-sottaceti, da mettere in tavola con gli antipasti, assemblati a triangolo o a quadrato...

[Quelo]

Più della soluzione in sé, penso che sia interessante il ragionamento.
Per ottenere un quadrato diviso in 4 parti, ipotizzo che ogni parte includa uno degli angoli, quindi i 4 pezzi, che siano triangoli o quadrilateri, dovranno avere un angolo retto.
Inoltre le parti dovranno combaciare a due a due ed i lati adiacenti agli angoli retti, presi a coppie, dovranno misurare quanto il lato del quadrato.

[bautz]

Qualsiasi triangolo con soli 4 pezzi lo ritengo impossibile.
Ad esempio: un triangolo, supponiamo isoscele, con base 36 e altezza 2, avrebbe area 36.
Un quadrato di pari area dovrebbe avere lato 6. Per tagliare il lato da 36 dovrei dividerlo in almeno 6 pezzi. In 4 soltanto é impossibile: 36/4 avrei come minimo una lunghezza di 9, che é maggiore del lato del quadrato (e anche della diagonale).
É quindi matematicamente impossibile.
Ho trovato un metodo per scomporre un qualsiasi triangolo in n pezzi e ricomporlo nel quadrato equivalente ma, per un triangolo qualsiasi, anche scaleno, serve scomporlo in
minimo 7 pezzi.

[Quelo]

Hai ragione, non si può applicare a qualsiasi triangolo
Sono stato un po' precipitoso, intendevo che il triangolo non deve essere necessariamente equilatero o iscolscele, deve però rientrare in un certo intervallo di rapporto base altezza e di forma
Grazie per la precisazione

[bautz]

Intanto propongo una soluzione con 3 pezzi valida per tutti i triangoli che hanno il lato maggiore pari a 2 volte l'altezza.
AB é pari a 2 volte CJ.
Basta selezionare il punto medio degli altri 2 lati e sezionare come da disegno, dal punto medio fino a perpendicolare alla base.
Incernierando su D ed E, i due triangoli rossi ruotano nella posizione verde, formando il quadrato.

SmartSelect_20230413-005155_Geometry.jpg (25.49 KiB) Visto 28373 volte

[Maurizio59]

Ho trovato una divisione in quattro parti di un triangolo rettangolo il cui rapporto tra i cateti deve essere compreso tra 1 e 2 (estremi esclusi).
Prima il triangolo rettangolo si trasforma in un rettangolo e poi il rettangolo si trasforma in un quadrato come in figura.

[Maurizio59]

Ho trovato una divisione più generale.
Essa si può applicare a triangoli rettangoli e acutangoli, isosceli e scaleni che hanno un rapporto tra altezza e base (lato minore) compreso tra 1 e 2 (estremi esclusi).
Questa divisione consiste nel trasformare il triangolo in un parallelogramma e poi trasformare il parallelogramma in un quadrato come in figura.



Se il triangolo non rientra in questi parametri (rapporto minore di 1) penso si possa utilizzare la scomposizione di Dudeney.

[bautz]

Complimenti Maurizio, ottima soluzione!

[Maurizio59]

Grazie bautz.

Ho trovato una bella costruzione che consente di trasformare un triangolo scaleno ottusangolo In un quadrato.
Essa permette di dividere il triangolo in 3 o 4 parti come nelle figure seguenti.
Il rapporto tra l'altezza e la base (lato minore) è 2.



Questo problema si rivela ricco di soluzioni.

[bautz]

Bella!
Anche se limitata a triangoli che abbiano rapporto base altezza di 1:2, questa consente di essere costruita come figura incernierata come accennato da delfo52:
...tavolinetto s-componibile che, incernierato a dovere, poteva assumere la forma triangolare e quella quadrata...
Qui si può incernierare sia la soluzione con 3 pezzi che con 4.
Penso che tra poco arriverai anche alla soluzione con rapporto base/altezza doversi da 1:2

[Bruno]

Bel lavoro, Maurizio