Il foglio strappato da un libro

[Gianfranco]

Tratto da RMO (Regional Mathematics Olympiad), India, 1994.
Cari amici, vi propongo questo problema perché ho dei dubbi sulla soluzione.
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A leaf is torn from a paperback novel. The sum of the numbers on the remaining pages is 15000. What are the page numbers on the torn leaf.
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Un foglio viene strappato da un libro.
La somma dei numeri di pagina scritti sui fogli rimanenti del libro è 15000.
Quali erano i due numeri di pagina scritti sul foglio strappato?
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Che ne pensate?

[Maurizio59]

...
Cari amici, vi propongo questo problema perché ho dei dubbi sulla soluzione.
...

Io ho ragionato così.
La somma dei primi n numeri naturali è $S = n(n+1)/2$ ed essa supera il valore 15000 per n = 173 (S = 15051).
I numeri di pagina del foglio strappato sono dunque 25 e 26.
I fogli del libro erano 87 e l'ultimo ha un solo numero di pagina (173).
Nel caso n = 174 si ha S = 15225 per cui i numeri di pagina del foglio strappato sarebbero 112 e 113.
Ciò non è possibile in quanto la sequenza deve essere dispari-pari.

[Quelo]

Non fa una piega

Riprendendo [A23-3]
Variante 1: dovrebbe avere 4 soluzioni, una abbastanza immediata è che il libro ha 5001 pagine e la pagina mancante è la 4997/4998
Variante 2: secondo me non ha soluzione, se la pagina mancante è la 173/174 la somma delle precedenti è 14.878, se la mancante è la 175/176, la somma è 15.225, come già illustrato anche da Maurizio

E se le pagine strappate fossero 2, oppure 3?

[franco]

Non fa una piega

Riprendendo [A23-3]
Variante 1: dovrebbe avere 4 soluzioni, una abbastanza immediata è che il libro ha 5001 pagine e la pagina mancante è la 4997/4998
Variante 2: secondo me non ha soluzione, se la pagina mancante è la 173/174 la somma delle precedenti è 14.878, se la mancante è la 175/176, la somma è 15.225, come già illustrato anche da Maurizio

E se le pagine strappate fossero 2, oppure 3?

Non mi è chiara la variante 1 ...

Io comunque avevo pensato a una "soluzione laterale".
Un'opera in due volumi.
Il primo con 53 fogli numerati da pag 1 a pag 106; il secondo volume con 49 fogli numerati da pag 107 a pag 204.
Se dal secondo volume strappo il foglio con i numeri di pagina 119 e 120, la somma dei numeri di pagina restanti è 15000!
(se non ho sbagliato i conti ...)

[Quelo]

Variante 1.

La somma di numeri di pagina scritti sui fogli successivi a quello strappato è 15000.

Quali erano i due numeri di pagina scritti sul foglio strappato?

Si chiede di trovare una sequenza di numeri interi consecutivi, il cui primo numero è dispari e la cui somma vale 15000

Le soluzioni possibili sono
$163 \to 237$
$289 \to 336$
$993 \to 1007$
$4999 \to 5001$

Se ipotizziamo che l'ultima pagina sia comunque numerata, anche se bianca, l'unica soluzione è
$289 \to 336$

[franco]

Variante 1.

La somma di numeri di pagina scritti sui fogli successivi a quello strappato è 15000.

Chiaro.

Non avevo capito che la Variante 1 sostituiva "successivi" a "rimanenti".
Guardando anche la versione originale in Inglese non mi pare sia un'interpretazione corretta (altrimenti avrebbero divuto usare "following", non "remaining").
Comunque è solo una mia opinione ...

[Quelo]

Mi riferisco al post nella home-page di Base5, che propone due varianti al quesito del foglio strappato

[Quelo]

Variante 1, tentiamo un approccio.

Se x, x+1 è il foglio strappato indichiamo con $m = x+1$ (pari) la pagina precedente alla prima delle successive e con $n$ l'ultima del libro

Avremo: $\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}-\frac{m(m+1)}{2}=15000$

Semplificando: $\displaystyle (n-m)(n+m+1)=30000$

Sostituisco $k=n-m$ e $n=k+m$

$\displaystyle k(2m+k+1)=30000$

$\displaystyle m=\frac{15000}{k}-\frac{k+1}{2}$

$k<173$ in quanto l'intervallo più grande di numeri la cui somma è prossima a 15000 è $1 \to 172$

$k$ è dispari, divisore di 15000, tale che $\displaystyle \frac{k+1}{2}$ è pari, cioè 3, 15, 75 oppure
$k$ è pari, divisore di 30000 ma non di 15000, cioè multiplo di 16, per cui 16, 48, 80, ma solo con 48 $m$ risulta pari

da qui discendono le 4 soluzioni

[Gianfranco]

Cari Maurizio, Quelo e Franco, vi ringrazio per le risposte che ho seguito con attenzione anche se non ho risposto subito.
Dunque, in sintesi:

1) Versione originale.
una risposta accettabile è 25-26 con un totale di 173 pagine numerate ma bisogna aggiungere l'ipotesi che l'ultima pagina non abbia numero.

2) Variante 1 (somma dei numeri sulle pagine successive).
una risposta accettabile è 287-288 con un totale di 336 pagine numerate, quindi l'ultima pagina dell'ultimo foglio ha un numero.

3) Variante 2 (somma dei numeri sulle pagine precedenti)
non ha soluzione perché 15000 non è un numero triangolare

Poi ci sono anche soluzioni "laterali" come quella di Franco.

[Pasquale]

A proposito di varianti, foglio e pagina vengono intesi come sinonimi ?
Potrebbe anche intendersi che un foglio sia composto materialmente da 2 pagine, con 4 facciate non consecutive e quindi con numerazioni diposte in modo completamente diverso, come è possibile notare in molti libri, più o meno datati e variamente rilegati.

[Gianfranco]

Potrebbe anche intendersi che un foglio sia composto materialmente da 2 pagine, con 4 facciate non consecutive e quindi con numerazioni diposte in modo completamente diverso...

Certo! Come avviene anche nelle riviste da edicola!