Poligonali senza lati in comune

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giobimbo
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Poligonali senza lati in comune

Messaggio da giobimbo »

Su una circonferenza scegliamo n punti, posti a distanze più o meno uguali l’uno dall’altro, indicati - procedendo in senso orario - con i numeri da 1 a n.
Colleghiamo coppie di punti con segmenti in modo da ottenere una poligonale chiusa. Definiamo algebricamente tale poligonale scrivendo i punti che essa collega:
Poligonale=[P1, P2, …. Pn, P1]=[P1, Pn, …, P2, P1]
o più semplicemente scegliamo una delle due definizioni ponendo
1) P1=1
2) P2<Pn.

Un esempio con n=5:
Poligonale(nera)=[1, 2, 3, 4, 5, 1]
Poligonale(rossa)=[1, 3, 5, 2, 4, 1]
Esempio con n=5.png
Esempio con n=5.png (10.4 KiB) Visto 314 volte
Problema 1 (facile): sapendo che due poligonali non possono condividere lo stesso segmento [Pm,P(m+1)] (e quindi neanche [P(m+1,Pm]) costruire quante più possibili poligonali per n=9.

Problema 2 (meno facile): costruire quante più possibili poligonali per n=12.

panurgo
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Re: Poligonali senza lati in comune

Messaggio da panurgo »

Per $n=9$ sono quattro, per esempio
PoligonaliSLIC.09.03.u.png
PoligonaliSLIC.09.03.u.png (133.16 KiB) Visto 293 volte
Per $n=12$ sono cinque, per esempio
PoligonaliSLIC.12.03.u.png
PoligonaliSLIC.12.03.u.png (161.47 KiB) Visto 229 volte
Per il secondo caso ho costruito delle poligonali SLIC un po' meno peregrine di quelle precedenti: i sei segmenti della sesta immagine sono quelli che restano dalle costruzioni precedenti
Ultima modifica di panurgo il mer gen 25, 2023 5:15 pm, modificato 1 volta in totale.
il panurgo

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giobimbo
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Re: Poligonali senza lati in comune

Messaggio da giobimbo »

Purtroppo nella soluzione per n=9 non c'è una poligonale blu di 9 lati ma tre poligonali di 3 lati:
[A, D, G, A], [C, F, I, C] e [B, E, H, B].

Nella soluzione per n=12 non c'è una poligonale blu di 12 lati ma tre poligonali:
[A, D, G, J, A], [B, E, H, K, B], eccetera.

panurgo
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Re: Poligonali senza lati in comune

Messaggio da panurgo »

giobimbo ha scritto:
mar gen 24, 2023 5:45 pm
Purtroppo nella soluzione per n=9 non c'è una poligonale blu di 9 lati ma tre poligonali di 3 lati:
[A, D, G, A], [C, F, I, C] e [B, E, H, B].

Nella soluzione per n=12 non c'è una poligonale blu di 12 lati ma tre poligonali:
[A, D, G, J, A], [B, E, H, K, B], eccetera.
Infatti è per questo che le mie poligonali SLIC sono miste.
il panurgo

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giobimbo
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Re: Poligonali senza lati in comune

Messaggio da giobimbo »

Un poco in ritardo ma ci sono arrivato, mi ha confuso il fatto che tu avessi invertito il senso di percorrenza da orario a antiorario, ma soprattutto che hai messo lettere invece di numeri.

Perfetto, hai risolto sia il problema 1 che il problema 2.

panurgo
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Re: Poligonali senza lati in comune

Messaggio da panurgo »

Primo, unendo $n$ punti si ottengono $n(n-1)/2$ segmenti e, dato che ogni poligonale (SLIC o no che sia) è formata da $n$ segmenti, possiamo ottenere un massimo di $(n-1)/2$ poligonali: $(n-1)/2$ se $n$ è dispari e $n/2-1$ se è pari.
La costruzione delle $(n-1)/2$ poligonali SLIC per $n$ dispari utilizza tutti i segmenti disponibili mentre $n/2$ segmenti avanzano dalla costruzione di $n/2-1$ poligonali SLIC per $n$ pari.
Secondo, conveniamo di misurare la “lunghezza” dei segmenti contando il numero di punti che ci sono tra un estremo e l’altro
PoligonaliSLIC.12.02.7.640x640.png
PoligonaliSLIC.12.02.7.640x640.png (61.83 KiB) Visto 130 volte
La “lunghezza” massima di un segmento è $(n-1)/2$ per $n$ dispari e $n/2$ per $n$ pari; dato che un segmento di lunghezza $k$ può iniziare su qualunque punto vi sono $n$ segmenti per ogni valore di $k$ (tranne che per $k=n/2$).
Ecco dunque i segmenti per diversi valori di $n$, colorati secondo la loro lunghezza
PoligonaliSLIC.04.002.png
PoligonaliSLIC.04.002.png (167.53 KiB) Visto 130 volte
Terzo, segmenti di lunghezza $k$ formano una poligonale che tocca tutti i punti solo per $k=1$ o quando $k$ e $n$ sono primi tra loro. In particolare, se $n$ è primo ($n>2$) possiamo creare $(n-1)/2$ poligonali SLIC “regolari” cioè con lati uguali (e angoli uguali se i punti sono equidistanti sulla circonferenza).
PoligonaliSLIC_Primi.png
PoligonaliSLIC_Primi.png (225.62 KiB) Visto 130 volte
Se $k$ è un divisore di $n$ otterremo $n/k$ poligonali di $k$ lati (lunghi $k$): nell’esempio in figura, per $n=9$, con $k$ uguale a uno, due e quattro otteniamo delle poligonali con $n$ lati
PoligonaliSLIC.09.03.w.png
PoligonaliSLIC.09.03.w.png (121.87 KiB) Visto 130 volte
mentre per $k=3$ otteniamo tre triangoli separati; per $n$ pari abbiamo anche $n/2$ segmenti lunghi $n/2$.
In ogni caso, se $n$ è composto, dovremo costruire le poligonali SLIC mescolando lati di lunghezze diverse: per esempio, con $n=6$
PoligonaliSLIC.06.03.v.png
PoligonaliSLIC.06.03.v.png (97 KiB) Visto 130 volte
e ci avanzeranno i soliti $n/2$ segmenti, per $n$ pari.

Quod fecit.

Resta da dimostrare che la costruzione di $(n-1)/2$ se $n$ è dispari o $n/2-1$ se $n$ è pari poligonali SLIC è sempre possibile per qualsiasi valore di $n$.
il panurgo

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giobimbo
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Re: Poligonali senza lati in comune

Messaggio da giobimbo »

Ovviamente per n primo tutto diventa facile, per questo ho scelto n=9 e n=12.
Quello che mi ha sconcertato, oltre a quanto già detto, è anche il fatto che nel mio esempio ogni poligonale ha un colore mentre nelle tue soluzioni i colori sono misti.

Per i disegni io consiglio Geogebra, con il quale ho fatto la soluzione per n=9; per n=12 ho optato per la notazione algebrica temendo che il disegno venisse troppo confuso.

Soluzione per n=9
Poligonale(nera)=[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1]
Poligonale(verde)=[1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 1]
Poligonale(arancio)=[1, 4, 7, 2, 8, 3, 6, 9, 5, 1]
Poligonale(blu)=[1, 7, 3, 9, 4, 8, 5, 2, 6, 1]
zzz basecinque n=9.png
zzz basecinque n=9.png (76.28 KiB) Visto 127 volte
Soluzione per n=12
Poligonale1=[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1]
Poligonale2=[1, 6, 11, 4, 9, 2, 7, 12, 5, 10, 3, 8, 1]
Poligonale3=[1, 3, 7, 9, 5, 2, 10, 12, 4, 6, 8, 11, 1]
Poligonale4=[1, 5, 3, 6, 9, 12, 2, 11, 7, 4, 8, 10, 1]
Poligonale5=[1, 4, 2, 6, 10, 7, 5, 8, 12, 3, 11, 9, 1]

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