Ottali tripartiti

[franco]

Un ottale tripartito è un numero $N_k$ di $3k$ cifre in $base 8$ formato da due blocchi di $k$ cifre separati da $k$ zeri e tale che elevando al cubo e poi sommando gli interi rappresentati dalle prime $k$ cifre e dalle ultime $k$ cifre si ottenga nuovamente il numero di partenza $N_k$.

Determinare gli ottali tripartiti $N_k$ per $k$ da $1$ a $6$.



Problema pubblicato da Jean Moreau de Saint Martin su La Jaune et la Rouge aprile 2022
www.diophante.fr
A30686

[franco]

Fare le operazioni in $base 8$ non è facilissimo, nemmeno per excel

Comunque dovrebbe essere $N_1 = 205$:
$2^3=10$
$5^3=175$
$10+175=205$

[Quelo]

$205_8$
$260053_8$
$560055_8$
$740037_8$
$252000525_8$
$252600005253_8$
$262200005310_8$
$751000003401_8$
$252520000052525_8$

Si comincia già a delineare uno schema, per cui possiamo aggiungere:
$252526000000525253_8$
$252525200000005252525_8$
e così via

++++++++++++++++++++

Possiamo anche generalizzare

$\displaystyle \underbrace{2525...2\,_8}_{k\; cifre} \to a = \frac{8^k-2}{3}$ con k dispari
$\displaystyle \underbrace{5252...5\,_8}_{k\; cifre} \to b = \frac{2^{3k+1}-1}{3}$ con k dispari

$\displaystyle a^3+b^3 = \frac{2^{3k+1}-2^{6k+1}+2^{9k}-1}{3} \to \underbrace{2525...2}_{k\; cifre}\, \underbrace{0000...0}_{k\; cifre}\, \underbrace{5252...5\,_8}_{k\; cifre}$

$\displaystyle \underbrace{252...6\,_8}_{k\; cifre} \to a = \frac{8^k+2}{3}$ con k pari
$\displaystyle \underbrace{525...3\,_8}_{k\; cifre} \to b = \frac{2^{3k+1}+1}{3}$ con k pari

$\displaystyle a^3+b^3 = \frac{2^{3k+1}+2^{6k+1}+2^{9k}+1}{3} \to \underbrace{252...6}_{k\; cifre}\, \underbrace{000...0}_{k\; cifre}\, \underbrace{525...3\,_8}_{k\; cifre}$

[Quelo]

Facciamo un'ulteriore considerazione

$\displaystyle a^3+b^3=8^{2k}a+b$

$\displaystyle 8^{2k}a-a^3=b^3-b=(b-1)b(b+1)$

Il primo termine è quasi un cubo perfetto ed è il prodotto di 3 numeri consecutivi.
Ci basterà fare la radice cubica, arrotobdare e verificare l'identità.
Con poche righe di codice otteniamo anche i risultati da k=6 a k=9

$226012\,000000\,512025\,_8$
$252526\,000000\,525253\,_8$
$300512\,000000\,537225\,_8$
$777740\,000000\,037777\,_8$

$2525252\,0000000\,5252525\,_8$

$25252526\,00000000\,52525253\,_8$

$252525252\,000000000\,525252525\,_8$

Sembra che da k=7 in poi non ci siano più anomalie rispetto alla regola individuata sopra

[Quelo]

E invece no, perché per k=10 abbiamo 4 risultati

$2500052652\,0000000000\,5237725525\,_8$
$2525252526\,0000000000\,5252525253\,_8$
$2552577652\,0000000000\,5265177525\,_8$
$7777777400\,0000000000\,0037777777\,_8$

ed emerge un nuovo schema, per $k=4n+2$

$\displaystyle \large a=2^{\frac{9k+2}{4}}-1 \to \underbrace{77..7}_{\frac{3k-6}{4}}\,74\,\underbrace{00..0\,_8}_{\frac{k-2}{4}}$

$\displaystyle \large b=8^k-2^{\frac{3k+2}{4}} \to \underbrace{00..0}_{\frac{k-2}{4}}\,37\,\underbrace{77..7\,_8}_{\frac{3k-6}{4}}$

$\displaystyle \large a^3+b^3=2^{\frac{9k+2}{4}}-2^{\frac{27k+2}{4}}+2^{9k}-1 \to \underbrace{77..7\,74\,00..0}_{k\,cifre}\, \underbrace{00..0}_{k\,cifre}\, \underbrace{00..0\,37\,77..7\,_8}_{k\,cifre}$