Tiro con l'arco

[franco]

Antine ha un arco con il quale può lanciare le frecce a una velocità di 54 m/s.
Si dispone ai piedi di un pendio che forma un angolo θ con il piano orizzontale e scaglia la sua freccia verso la collina angolando il tiro in modo mandarla il più lontano possibile.
La distanza risulterà essere pari a 207,5 metri.

a2975

a2975.jpg (7.8 KiB) Visto 15110 volte

Determinare il valore dell'angolo θ ipotizzando nulla la resistenza dell'aria e approssimando l'accelerazione gravitazionale a 9,81 m/s2.

ciao

[Pasquale]

Bene , direi che anche questo quesito postato a suo tempo dal buon Franco, che spesso ci fornisce benevolmente spunti di lavoro, meriti nuova attenzione.
Per quanto mi riguarda, per buona memoria del metodo sperimentale, ho nel frattempo pensato di costruirmi un arco....vedremo.....

[franco]

Questo era un problema più interessante (per me) ma con cui mi sono abbondantemente scornato.

In teoria, conoscendo l'equazione del moto della freccia (in funzione dell'angolo alfa con cui si scocca il dardo) e l'equazione della retta che rappresenta il pendio, si calcolano facilmente le coordinate del punto Q e quindi la distanza PQ che sarà funzione di alfa e theta.
Faccio la derivata rispetto ad alfa per cercare la distanza massima e infine calcolo per quale valore di theta il massimo coincide con 207,5 m.

Purtroppo però l'equazione del moto è piuttosto complessa e a fare tutti i passaggi e le derivate mi è venuto il mal di testa ...

Sarebbe tutto più facile assumendo che la freccia sia scoccata con angolo di 45°; è noto che è la condizione che massimizza la gittata ma stando sul piano!
Non so (e ne dubito) se ciò vale anche lanciando verso un piano inclinato.

[delfo52]

il dubbio di franco è anche il mio dubbio. Temo che la soluzione "facile" non vada bene. Se la teoria dei 45° come best fosse vera dovrebbe valere per qualsiasi valore dell'angolo. Il che non può certo essere se questo supera i fatidici 45°. Ma nemmeno per valori di poco minori di 45, la soluzione può essere quella...

[Gianfranco]

Mi trovo in sintonia...

Purtroppo però l'equazione del moto è piuttosto complessa e a fare tutti i passaggi e le derivate mi è venuto il mal di testa ...

Preferisco evitare il mal di testa perché intuisco che questo problema di "cinematica" richieda prevalentemente calcoli automatici.

Se a qualcuno può interessare, in un manuale di balistica (senza attrito) ho trovato che per avere la massima gittata PQ lungo un piano inclinato, la direzione del lancio deve essere la bisettrice di $90°-\theta$, quindi:
$\large \alpha=45°-\frac{\theta}{2}$

max_gittata.png (34.54 KiB) Visto 13648 volte

[franco]

Mi trovo in sintonia...

Purtroppo però l'equazione del moto è piuttosto complessa e a fare tutti i passaggi e le derivate mi è venuto il mal di testa ...

Preferisco evitare il mal di testa perché intuisco che questo problema di "cinematica" richieda prevalentemente calcoli automatici.

Se a qualcuno può interessare, in un manuale di balistica (senza attrito) ho trovato che per avere la massima gittata PQ lungo un piano inclinato, la direzione del lancio deve essere la bisettrice di $90°-\theta$, quindi:
$\large \alpha=45°-\frac{\theta}{2}$
max_gittata.png

Ti dirò che "a naso" lo supponevo!
Questo facilita non di poco i calcoli ma comunque non è roba da "pausa pranzo"

[Pasquale]

Interessante: ne consegue una proposta, che spero non errata, di procedimento da adottare, considerato che, se fosse $\theta = 0$, la massima gittata di una freccia lanciata a velocità x si otterrebbe su un'angolazione di 45°.

Dunque, direi di calcolare la gittata G di una freccia lanciata ad una velocità x = 54 m/s con inclinazione a 45°: avremmo G come massima gittata rispetto ad un $\theta = 0$

Anche L = m.207,5 è una massima gittata, ma rispetto ad un angolo di lancio $\beta$ <> 45°, a causa del $\theta$ <> 0.

Quindi, non so se dico bene, dovrebbe essere:

$\beta$:45°= L:G, da cui, considerata la formula postata da Gianfranco:

$\theta$ = 90 - 2$\beta$

Resta da aggiungere che il calcolo di G non so farlo.

____________

Chiedo ora di farmi conoscere come vedete voi le formule postate da voi stessi e quelle postate da me. Le vostre le vedo in formato testo racchiuse fra due segni di dollaro.
Anche voi le vedete così, oppure le vedete come devono essere viste? Es: il vostro teta lo vedo come $\theta$ e non come $\theta$. Il vostro \theta è stato trattato con math?
Lo chiedo, perché anche le mie formule, se trattate con math compaiono in formato testo, racchiuse fra segni di dollaro; cosa che non accade se le racchiudo fra tex e /tex (a parte le parentesi quadre che ometto), con la differenza che prima c'era un apposito tasto per TEX, mentre adesso c'è solo quello per MATH. Il difetto è mio? Grazie

[franco]

Ho provato a sintetizzare in quattro formule:

arco1.png (10.8 KiB) Visto 13621 volte

(l'angolo di tiro $α$ si intende misurato rispetto all'orizzontale)

Poichè la ricerca analitica del valore di $θ$ mi sembrava troppo ardua, ho messo le formule su excel e sono arrivato per approssimazioni successive al valore dell'angolo per cui PQ=207,5 m:
$θ = 0,447285 = 25,627533°$

Spero di non aver fatto errori da qualche parte... ancora non sono andato su diophante.fr a verificare la soluzione.


P.S.
@ Pasquale: io vedo correttamente le formule su tutti i post (senza i dollari). Io piuttosto non riesco a scriverle, gli editor latex che usavo prima non mi funzionano più con la nuova versione di MS Office. Infatti in questo post ho messo le formule come immagine ...

...
Edit: avevo sbagliato a digitare una cifra nel risultato in gradi (il primo decimale è 6 e non 4 come avevo scritto) ... ora l'ho corretta

[Bruno]

Pasquale, generalmente riesco a vedere le vostre formule e le mie.

Per scriverle, utilizzo il tasto "math" (in effetti, l'unico rimasto) e così vengono inserite fra "math" e "/math", racchiusi in parentesi quadre.

Il theta lo digito così:

Codice: Seleziona tutto

\theta, poi lo seleziono con il tasto "math" e ottengo questo [math]\theta[/math].

Infine, lo leggo così $\theta$.

Noto comunque che, quando utilizzi "tex", graficamente le lettere sono meno precise.

Le formule di Franco posso scriverle così:

$\alpha = \large{\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}}$

Codice: Seleziona tutto

[math]\alpha = \large{\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}}[/math]

$x_{\small Q} = \large{\frac{2v^2cos^2(\alpha)(tg(\alpha) - tg(\theta))}{g}}$

Codice: Seleziona tutto

[math]x_{\small Q} = \large{\frac{2v^2cos^2(\alpha)(tg(\alpha) - tg(\theta))}{g}}[/math]

"\large" e "\small" mi permettono una migliore visualizzazione.

[Gianfranco]

Ciao Pasquale,

Chiedo ora di farmi conoscere come vedete voi le formule postate da voi stessi e quelle postate da me. Le vostre le vedo in formato testo racchiuse fra due segni di dollaro.
Anche voi le vedete così, oppure le vedete come devono essere viste? Es: il vostro teta lo vedo come $\theta$ e non come $\theta$. Il vostro \theta è stato trattato con math?
Lo chiedo, perché anche le mie formule, se trattate con math compaiono in formato testo, racchiuse fra segni di dollaro; cosa che non accade se le racchiudo fra tex e /tex (a parte le parentesi quadre che ometto), con la differenza che prima c'era un apposito tasto per TEX, mentre adesso c'è solo quello per MATH. Il difetto è mio? Grazie

Io vedo bene tutte le formule, sia TEX sia MATH con Firefox e Edge.

TEX usa mimetex per trasformare le formule in immagini .png. Il programma mimetex risiede nel server assieme al forum, quindi è sempre pronto a funzionare assieme al forum stesso.
MATH usa MathJax, un servizio che risiede da un'altra parte, quindi potrebbe non funzionare in certe situazioni.

Il pulsante TEX è stato tolto, ma in realtà la funzione è sempre attiva.

Se non vedi le formule MATH, forse devi fare qualcosa per attivare il collegamento a MathJax nel tuo browser, ma non so dirti di più.

Qui c'è una formula in TEX
$\large\sqrt{a^2+b}+\frac{3}{4}-\cos\alpha$

Qui c'è la stessa formula in MATH
$\large\sqrt{a^2+b}+\frac{3}{4}-\cos\alpha$

Non mi piace il rendering della frazione in MATH.

Dovresti vederle "bene" tutte e due.

I codici delle due formule sono questi, non ci sono segni di $

Codice: Seleziona tutto

[tex]\large\sqrt{a^2+b}+\frac{3}{4}-\cos\alpha[/tex]

Codice: Seleziona tutto

[math]\large\sqrt{a^2+b}+\frac{3}{4}-\cos\alpha[/math]

[panurgo]

Torniamo alla carica (magari si può fare anche meglio) e consideriamo di essere in un campo gravitazionale uniforme diretto verticalmente (un’ottima approssimazione nel caso presente): l’accelerazione di gravità modificherà solo la componente verticale della velocità della freccia.
Separiamo le due componenti della velocità ($\alpha$ è l’angolo di tiro)

$\left\{\begin{array}{lC}
\displaystyle v_x=v\cos\alpha \\
\displaystyle v_y=v\sin\alpha-gt
\end{array}\right.$

e integriamo rispetto al tempo

$\left\{\begin{array}{lC}
\displaystyle x=v\cos\alpha\,t \\
\displaystyle y=v\sin\alpha\,t-\frac{gt^2}2
\end{array}\right.$

Esprimiamo $t$ in funzione di $x$ e sostituiamo nell’equazione di $y$

$\left\{\begin{array}{lC}
\displaystyle t=\frac{x}{v\cos\alpha} \\
\displaystyle y=\tan\alpha\,x-\frac{gx^2}{2v^2\cos^2\alpha}
\end{array}\right.$

Troviamo l’intersezione della traiettoria con il terreno in salita

$\left\{\begin{array}{lC}
\displaystyle y=\tan\theta\,x \\
\displaystyle y=\tan\alpha\,x-\frac{gx^2}{2v^2\cos^2\alpha}
\end{array}\right.$

ovvero

$\displaystyle x=\frac{2v^2}{g}\cos^2\alpha\left(\tan\alpha-tan\theta\right)$

La distanza del punto di impatto è data da

$\displaystyle d=\sqrt{x^2+y^2}=x\,\sqrt{1+\tan^2\theta}=\frac{x}{\cos\theta}=\frac{2v^2}{g\,\cos\theta}\cos^2\alpha\left(\tan\alpha-\tan\theta\right)$

Troviamo per quale valore di α la distanza è massima: deriviamo

$\displaystyle d^\prime=\frac{2v^2}{g\,\cos\theta}\left(1-2\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha\tan\theta\right)$

cioè

$\displaystyle d^\prime=\frac{2v^2}{g\,\cos\theta}\left(\cos2\alpha+\sin2\alpha\tan\theta\right)$

e troviamo la soluzione dell’equazione goniometrica $d^\prime=0$

$\displaystyle \cos2\alpha+\sin2\alpha\tan\theta=0\quad\Longrightarrow\quad \tan2\alpha=-\cot\theta=\tan\left(\theta+\frac{\pi}2\right)$

ovvero

$\displaystyle\alpha=\frac{\theta}2+\frac{\pi}4$

Sostituiamo nella formula di $d$ e, con qualche passaggio di facile trigonometria, otteniamo

$\displaystyle d=\frac{v^2}{g}\left(\frac1{\cos\theta}-\tan\theta\right)\left(\frac{1+\tan\frac{\theta}2}{1-\tan\frac{\theta}2}-\tan\theta\right)$

Poniamo $t=\tan\theta/2$ e sostituiamo

$\displaystyle d=\frac{v^2}{g}\left(\frac{1+t^2}{1-t^2}-\frac{2t}{1-t^2}\right)\left(\frac{1+t}{1-t}-\frac{2t}{1-t^2}\right)=\frac{v^2}{g}\cdot\frac{1+t^2}{\left(1+t\right)^2}$

Poniamo $a=gd/v^2$ e troviamo l’equazione

$\displaystyle\left(a-1\right)t^2+2at+a-1=0$

le cui soluzioni sono

$\displaystyle t=\tan\frac{\theta_{1,2}}2=\frac{-a\pm\sqrt{2a-1}}{a-1}$

ovvero

$\displaystyle \theta_{1}=2\arctan\frac{-a+\sqrt{2a-1}}{a-1}\approx154,37^\circ$

e

$\displaystyle \theta_{2}=2\arctan\frac{-a-\sqrt{2a-1}}{a-1}\approx25,62^\circ$

Evidentemente il primo valore è troppo grande per cui terremo $\theta\approx25,62^\circ$.

[Quelo]

Bella soluzione, complimenti.

A ben vedere i due angoli sono uguali (rispetto al piano): $\theta_1=\pi-\theta_2$