Vincitore eccezionale

[franco]

Sette giocatori organizzano un torneo di "testa o croce".
Tutti lanciano contemporaneamente una moneta (che supponiamo essere perfetta).
Se uno solo ottiene croce e gli altri 6 ottengono testa oppure uno solo ottiene testa e gli altri 6 ottengono croce, l'"eccezionale" vince il torneo.
Se invece il lancio risulta in una combinazione diversa (ad esempio 7 croci, o 3 croci e 4 teste) la mano è nulla e si ripete, sinché non si ottiene un vincitore "eccezionale".

Detto $x$ il numero di lanci necessari per arrivare ad un vincitore se ne determini la probabilità ed il valore atteso.

www.diophante.fr
G1925

[delfo52]

senza pretese di correttezza, provo a ragionarci.
le otto combinazioni (0-7 1-6 2-4-3-4 e viceversa) hanno probabilità "a campana".
Una prima approssimazione 5-10-15-20-20-15-10-5 a piramide va ovviamente corretta per renderla più Gaussiana. Per cui il valore di 3-4 e 4-3 sarà un poco più alto. Per converso le code avranno valori più bassi. Per le due occorrenze 1-6 e 6-1 invece del 20% cumulativo, dico, assolutamente a occhio, un valore tra 12,5 e 15

La probabilità che NON esca il vincitore è pertanto tra 85/100 e 87,5/100 al primo lancio
e si prosegue con le potenze di questa frazione

[Quelo]

Io ho ragionato così:
le combinazioni possibili sono $2^7=128$, quelle vincenti $14$, al primo lancio la probabilità è $\displaystyle \frac{14}{128}=10,9375\%$

Se il primo turno va fallito al secondo le probabilità aumentano secondo una legge del tipo $\displaystyle 1-e^{\large-kx}$ per arrivare quasi a 1 intorno al 100esimo lancio

Non so come ricavare la legge matematica però se scelgo k=0,115832, cioè il valore tale per cui P(1) = 0,109375, mi ritrovo con i valori calcolati per simulazione

SE&O

EDIT:
In realtà era più facile del previsto, come suggerisce Enrico, la probabilità che esca un vincitore al primo turno è: $\displaystyle 1-\frac{114}{128}=10,9375\%$
Al secondo $\displaystyle 1-\left(\frac{114}{128}\right)^2=20,6787\%$ e così via
Quindi $\displaystyle P(x)=1-\left(\frac{114}{128}\right)^{\large x}$ che corrisponde a quanto trovato prima $\displaystyle P(x)=1-e^{\large \log{\frac{114}{128}x}}$

[Pasquale]

Il solito Decimal, su 100 milioni di simulazioni, approssima gli "eccezionali" intorno al 10,93673 %

[franco]

In realtà era più facile del previsto, come suggerisce Enrico, la probabilità che esca un vincitore al primo turno è: $\displaystyle 1-\frac{114}{128}=10,9375\%$
Al secondo $\displaystyle 1-\left(\frac{114}{128}\right)^2=20,6787\%$ e così via
Quindi $\displaystyle P(x)=1-\left(\frac{114}{128}\right)^{\large x}$ che corrisponde a quanto trovato prima $\displaystyle P(x)=1-e^{\large \log{\frac{114}{128}x}}$

Non mi convince ... $(114/128)^x$ è la probabilità che tutte le $x$ mani siano nulle, quindi il suo complemento a 1 è la probabilità che "almeno una" non sia nulla: non necessariamente una sola e non necessariamente la $x$esima.

A mio parere la probabilità di avere una sola mano non nulla su $x$ tentativi è $(14/128)*(114/128)^{x-1}$
Quindi la probabilità che la mano non nulla sia proprio la $x$esima è (o dovrebbe essere): $P(x)=(1/x)*(14/128)*(114/128)^{x-1}$

Comunque sarebbe interessante vedere cos succede con un po' di simulazioni.

[Quelo]

Hai ragione Franco, io non avevo capito il problema e ho calcolato la probabilità che uscisse un vincitore in x turni e non un vincitore all'x-esimo turno

La formula che ci dà tale risultato è appunto $P(x)=(14/128)*(114/128)^{x-1}$

Le simulazioni lo confermano

Codice: Seleziona tutto

x	entro x turni	1-(114/128)^x	al turno x	(14/128)(114/128)^(x-1)
1	10,9397%	10,9375%	10,9397%	10,9375%
2	20,6744%	20,6787%	9,7346%		9,7412%
3	29,3542%	29,3545%	8,6798%		8,6758%
4	37,0858%	37,0813%	7,7316%		7,7269%
5	43,9678%	43,9631%	6,8820%		6,8817%
6	50,0972%	50,0921%	6,1294%		6,1290%
7	55,5530%	55,5508%	5,4558%		5,4587%
8	60,4154%	60,4124%	4,8624%		4,8616%
9	64,7404%	64,7423%	4,3250%		4,3299%
10	68,5947%	68,5986%	3,8543%		3,8563%
12	75,0964%	75,0920%	3,0597%		3,0589%
14	80,2530%	80,2427%	2,4267%		2,4263%
16	84,3281%	84,3282%	1,9134%		1,9246%
18	87,5708%	87,5689%	1,5225%		1,5266%
20	90,1395%	90,1395%	1,2167%		1,2109%
25	94,4739%	94,4745%	0,6788%		0,6786%
30	96,8994%	96,9037%	0,3789%		0,3803%
40	99,0257%	99,0277%	0,1187%		0,1194%
50	99,6947%	99,6947%	0,0388%		0,0375%
60	99,9051%	99,9041%	0,0120%		0,0118%
70	99,9702%	99,9699%	0,0034%		0,0037%
80	99,9907%	99,9905%	0,0012%		0,0012%
90	99,9970%	99,9970%	0,0004%		0,0004%
100	99,9991%	99,9991%	0,0001%		0,0001%

[franco]

Sisi...

Ho fatto un ragionamento in parte giusto e in parte sbagliato.

Non c'entra nulla dividere per x il mio primo risultato ...