Somma di cubi

[Quelo]

Dimostrare che $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{\,3}=\left(\sum_{k=1}^{n}k\right)^2$

[franco]

Io l'ho pensata così:

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[Quelo]

Ottimo Franco

Riporto anche una prova visuale

Somma di cubi.png (8.68 KiB) Visto 3208 volte

[Bruno]

Fantastico

In formule, di immediata verifica (e ben note) sono le identità:

$n = {\Large \frac{n\cdot (n+1)}{2} - \frac{n\cdot (n-1)}{2}}$
$n^2 = {\Large \frac{n\cdot (n+1)}{2} + \frac{n\cdot (n-1)}{2}}\, ,$

da cui si deduce:

$n^3 = {\Large \frac{n^2\cdot (n+1)^2}{4} - \frac{n^2\cdot (n-1)^2}{4}}\, ,$

che ci permette di ottenere l'uguaglianza proposta in un balzo di gatto:

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1^3 = {\Large \frac{1^2\cdot 2^2}{4}}$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2^3 = {\Large \frac{2^2\cdot 3^2}{4} - \frac{2^2\cdot 1^2}{4}}$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3^3 = {\Large \frac{3^2\cdot 4^2}{4} - \frac{3^2\cdot 2^2}{4}}$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\vdots$
$(n-1)^3 = {\Large \frac{(n-1)^2\cdot n^2}{4} - \frac{(n-1)^2\cdot (n-2)^2}{4}}$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;n^3 = {\Large \frac{n^2\cdot (n+1)^2}{4} - \frac{n^2\cdot (n-1)^2}{4}}.$