Massimo comun divisore e minimo comune multiplo.

[Bruno]

Da Domenico Annunziata, un problema semplice ma carino.

Determinare due numeri interi positivi $a$ e $b$, tali che, posto:

$y = mcm(a, b) \\
x = MCD(a, b), $
risulti:

$2\cdot y - 59\cdot x = 57$.

[panurgo]

Intendi $2\cdot y-59\cdot x=57$ ?

[panurgo]

MCD_mcm.01.1.480x480.png (24.3 KiB) Visto 4001 volte

Nella classica rappresentazione grafica le due ellissi sono rispettivamente gli insiemi dei fattori primi di $a$ e $b$, l'intersezione rappresenta i fattori comuni, cioè $\text{MCD}\left(a,b\right)$, mentre l'unione rappresenta $\text{mcm}\left(a,b\right)$.

Evidentemente $\text{mcm}\left(a,b\right)=k\cdot\text{MCD}\left(a,b\right)$.

Posto $y=kx$, dall'equazione $2y-59x=57$ ricaviamo

$\displaystyle x=\frac{57}{2k-59}$

Perché $x$ sia un naturale il denominatore deve essere un fattore di $57$

$\begin{array}{cC}
\hline
\; 2k-59\; & \quad k\quad & \quad x\quad & \quad y\quad & \quad a\quad & \quad b\quad \\
\hline
1 & 30 & 57 & 1710 & \begin{array}{cC} 285 \\ 171 \\ 114 \\ 57 \end{array} & \begin{array}{cC} 342 \\ 570 \\ 855 \\ 1710 \end{array} \\
\hline
3 & 31 & 19 & 589 & 19 & 589 \\
\hline
19 & 39 & 3 & 117 & \begin{array}{cC} 9 \\ 3 \end{array} & \begin{array}{cC} 39 \\ 117 \end{array} \\
\hline
57 & 58 & 1 & 58 & 2 & 29 \\
\hline
\end{array}$

($a$ e $b$ possono ovviamente essere scambiati)

[Bruno]

Intendi $2\cdot y-59\cdot x=57$ ?

Sì, Guido, grazie: ho già corretto

[Bruno]

Nella classica rappresentazione grafica le due ellissi sono rispettivamente gli insiemi dei fattori primi di $a$ e $b$, l'intersezione rappresenta i fattori comuni, cioè $\text{MCD}\left(a,b\right)$, mentre l'unione rappresenta $\text{mcm}\left(a,b\right)$.
(...)

Ottimo, Guido