Due problemini di Paul Erdos

[Gianfranco]

1) Se p è un numero primo, allora (p-1)!+1 è divisibile per p.
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2) Il numero che precede il quadrato di un numero dispari è divisibile per 8.
In altre parole: se n è dispari allora (n²-1) è divisibile per 8.
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Tratte da Paul Erdos e Janos Suranyi, Topics in the Theory of Numbers, 2003 (la prima edizione è del 1959, in lingua ungherese).

[Quelo]

2) (n²-1)=(n-1)(n+1) se n è dispari i due fattori sono pari e uno dei due è necessariamente multiplo di 4
poniamo n=2m-1, avremo n-1=2m-2, n+1=2m, se m è pari n+1 è multiplo di 4, se m è dispari n-1 è multiplo di 4

[panurgo]

$\frac{n\left(n+1\right)}2$ è un numero intero perché o $n$ è pari o lo è $n+1$.

$\displaystyle 8\cdot\frac{n\left(n+1\right)}2=4n^2+4n=\left(2n+1\right)^2-1$

[Bruno]

1) Se p è un numero primo, allora (p-1)!+1 è divisibile per p.

In altre parole, il teorema di Wilson.

[Bruno]

Ogni cornice dispari aggiunge un certo numero di 8 quadratini.

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[Gianfranco]

1) Se p è un numero primo, allora (p-1)!+1 è divisibile per p.

In altre parole, il teorema di Wilson.

Esatto. Il teorema di Wilson, se non sbaglio, è una doppia implicazione. Questa è una sola delle due.
Nel capitolo "4. Geometric Methods in Number Theory" Erdos/Suranyi ne danno una dimostrazione geometrica.

[Gianfranco]

Ogni cornice dispari aggiunge un certo numero di 8 quadratini.

Bella dimostrazione geometrica del n. 2!