OEIS-A00688

[peppe]

Ciao Bruno,
se non ricordo male tu sei uno che collabori con la OEIS (On-Line Encyclopedia of Integer Sequences).
Ti informo che , nel corso di una delle mie numerose peregrinazioni (infruttuose...) attaverso il web,
sono venuto a conoscenza di un fatto che sicuramente ti interesserà.

La serie A00688 - Numeri di Kaprekar contiene un errore!

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999,
17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495,
318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170

Mi sono preso la briga di verificare i primi numeri della serie e mi sembra ( salvo che non abbia preso una delle mie solite cantonate...)
che il 14° termine, 5292, non rispetta la regola:

"In matematica, un numero di Kaprekar in una data base è un numero intero non-negativo, il
cui quadrato può essere suddiviso in due parti che, sommate tra loro, forniscono nuovamente il numero di partenza."

Infatti 5292^2 = 28005264 e la somma 2800+5264= 8064 non restituisce il numero di partenza.
Puoi verificare?

Colgo l'occasione per un caro saluto a tutti gli amici ai quali auguro un 2022 più sereno e migliore di quello appena trascorso.
Saluti . peppe

[Gianfranco]

Buongiorno e buon anno Peppe!
Proprio ieri ho dato un'occhiata ai numeri di Kaprekar, per cui oso rispondere.
28 + 005264 = 5292.

Il quadrato del numero si può dividere in due parti arbitrariamente. Sono ammessi gli zeri iniziali.
Così ho capito.

[peppe]

Mi sembrava strano! Grazie Gianfranco per la risposta e auguri di buon anno anche a te.
Saluti.peppe

[peppe]

Il "fatto" a cui accennavo è sintetizzato nella foto che allego.
La frase sottolineata in rosso l'ha scritta un docente di matematica in pensione
per cui la cosa mi sembra un po' strana.
Ammenoché l'errore (non specificato) a cui accenna il docente,consista
in qualcosa che mi sfugge.
Saluti.

Quesito-OEIS.JPG (58.01 KiB) Visto 11117 volte

[peppe]

Penso che ad essere sbagliato sia il primo numero della serie. Ossia 1.

[Gianfranco]

Penso che ad essere sbagliato sia il primo numero della serie. Ossia 1.

Provo a rispondere, in attesa della risposta autorevole di Bruno.

Dunque,... quando si hanno dei dubbi se un numero possiede o no una certa proprietà, bisogna leggere attentamente la definizione della proprietà e verificare pazientemente se il numero soddisfa la definizione.
Se una proprietà è definita in due modi leggermente diversi, allora può connotare insiemi diversi di numeri.

Vediamo qual è la definizione della sequenza OEIS A006886.

Definizione di numero di Kaprekar $n$ (intero, positivo, in base 10)
$n = q+r$
$n^2 = q\cdot10^m+r$
con:
$m >= 1$,
$q >= 0$,
$0 <= r < 10^m$.
Inoltre $n$ non è una potenza di 10 diversa da 1.

Detto questo, verifichiamo se 1 è un numero di Kaprekar.
$1 = q + r = 0 + 1$
$1^2 = q\cdot10^m+r = 0\cdot10^1+1$
con:
$m (= 1) >= 1$,
$q (= 0) >= 0$,
$0 <= (r=1) < 10^1$.
OK, test superato.

Verifichiamo ora se 5292 è un numero di Kaprekar.
$5292 = q + r = 28+5264$
$5292^2 = q\cdot10^m+r = 28\cdot10^6+5264$
con:
$m (= 6) >= 1$,
$q (= 28) >= 0$,
$0 <= (r=5264) < 10^6$.
OK, test superato
---

Nella sequenza OEIS A053816, i numeri di Kaprekar sono definiti in modo leggermente diverso.
Per semplificarci la vita, enunciamo la definizione "a parole":

Consideriamo un numero $n$ formato da $m$ cifre.
Eleviamolo al quadrato e addizioniamo le $m$ cifre di destra alle restanti cifre di sinistra.
Se la somma è $n$, allora $n$ è un termine della sequenza.

Verifichiamo ora se 5292 fa parte della sequenza.
$5292^2=28005264$
$2800+5264=8064$
Siccome la somma è diversa da 5292, allora tale numero non appartiene alla sequenza.

Non ho trovato errori nelle due sequenze OEIS citate ma soltanto due definizioni leggermente diverse di "Numero di Kaprekar".

Salvo erori & ommisioni.

[Bruno]

Non ho trovato errori nelle due sequenze OEIS citate ma soltanto due definizioni leggermente diverse di "Numero di Kaprekar".

Perfetto, Gianfranco, hai detto benissimo.

Nell'OEIS giocano un ruolo centrale le definizioni e qualche volta i termini in data vengono adeguati, per garantire la coerenza, il tutto con il supporto di un'estesa comunità di matematici.
Tra l'altro, la A006886 è presente nell'edizione cartacea del 1995 dell'Encyclopedia.

[peppe]

Purtroppo il docente di matematica in pensione non ha precisato quale tipo di errore ha rilevato nella sequenza in questione. Io ho solo notato che quella da lui proposta inizia con il numero 4 e non con il numero 1, per cui ho pensato che l'errore potesse consistere proprio in questo e cioè che l'uno non appartiene alla sequenza. Però ora leggo che la faccenda è ben più complessa. Ringrazio Gianfranco e Bruno per i chiarimenti. Saluti.