Intermezzi.

[Bruno]

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Quali sono le due cifre terminali della seguente potenza?

$\LARGE 2^{2^{2222222}}$

[delfo52]

se il segno tra AC e CD vale UGUALE, il conto non è difficile.

[Bruno]

Congruente, sì.

Quindi?

In particolare: come?

[Gianfranco]

$DE=\sqrt{(5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cdot(4/5))}=4,24$ circa.


In sintesi estrema:
$2^{222...} = 4 \mod 100$

$2^{2^{222...}} = 2^4 = 16 \mod 100$

[Bruno]

$DE=\sqrt{(5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cdot(4/5))}=4,24$ circa.

Gianfranco, so che tu puoi fare a meno della trigonometria ed essere agile come una gazzella

In sintesi estrema:

Estremissima

[Gianfranco]

Non usando la trigonometria si può dire che il risultato è:
$DE=3\cdot \sqrt{2}$
Non riporto la costruzione.

[Bruno]

Ottimo

Naturalmente è interessante dire come arrivarci

[delfo52]

la mia strada, usando solo pitagora e niente trigonometria.
il triangolo ABC è pitagorico coi lati 3-4-5
gli angoli opposti in C sono uguali
su CE prendo H, tale che CH = 4
il triangolo CHD è speculare a ABC, e quindi DH= 3
HE= 3 per costruzione (7-4)
il triangolo DHE è rettangolo perché CHD è retto e quindi lo è anche DHE
DE=radice di 18
che, guarda caso è uguale a 3volte radice di 2

[Bruno]

Ottimo, Enrico, e grazie

Il 'trucco' sta proprio nella tua costruzione e nell'osservare che DHE è la metà di un quadrato con diagonale in DE.

Sono certo che l'abbia pensata così anche Gianfranco.

[Gianfranco]

la mia strada, usando solo pitagora e niente trigonometria.
il triangolo ABC è pitagorico coi lati 3-4-5
gli angoli opposti in C sono uguali
su CE prendo H, tale che CH = 4
il triangolo CHD è speculare a ABC, e quindi DH= 3
HE= 3 per costruzione (7-4)
il triangolo DHE è rettangolo perché CHD è retto e quindi lo è anche DHE
DE=radice di 18
che, guarda caso è uguale a 3volte radice di 2

Enrico, ottima soluzione che usa le simmetrie. Molto moderna, direbbe Coxeter.

Io ho tracciato la perpendicolare DH da D a CE, ottenendo due triangoli congruenti ABC e CHD.

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[Bruno]

Perfetto.

[Bruno]

In sintesi estrema:
$2^{222...} = 4 \mod 100$

$2^{2^{222...}} = 2^4 = 16 \mod 100$

Sarò meno sintetico e più artigianale, spiego passo passo quello che ho visto e fatto

Osservo che:
76·76 = 5776 = 57·100+76
76·76·76 = 438976 = 4389·100+76
...
76ᵐ = q·100+76
per un certo q, ossia:
76ᵐ ≡ 76 (mod 100).
Ora:
16⁵ = 1048576 ≡ 76 (mod 100)
e:
16⁵ᵗ ≡ 76ᵗ ≡ 76 (mod 100),
cioè:
16⁵ᵗ⁺¹ ≡ 76·16 ≡ 16 (mod 100).
Pertanto:
2⁴ᵏ = 16ᵏ ≡ 16 (mod 100) quando k ≡ 1 (mod 5).
Allora, più in particolare, poiché il numero 2²²²²²²² è del tipo 4·k:
2²²²²²²² = 4¹¹¹¹¹¹¹ = 4·4¹¹¹¹¹¹⁰,
dove 4¹¹¹¹¹¹⁰ = (5-1)¹¹¹¹¹¹⁰ ≡ 1 (mod 5),
concludo che la potenza data termina con 16
Naturalmente, potrei 'allungare' l'esponente 222222··· a piacere.

[infinito]

Sono certo che l'abbia pensata così anche Gianfranco.

Gianfranco l'ha pensata diversa, ed anch'io (ed anch'io ero convinto che la mia strada fosse quella ovvia ....)
Io ho semplicemente costruito il triangolo CKE rettangolo in k (in realtà al posto di K avevo pensato H, ma è già stato usato da28/5 voi), che ovviamente è simile al rettangolo CBA, di cui conosciamo i lati: 3, 5, 4 (terna pitagorica).
Poiché il lato CE è 7 (cioè 5·7/5), il lato EKè 3·7/5= 21/5 e il lato CK è 4·7/5=28/5, ed infine il segmento DK è CK-CD=28/5-5=3/5.
Quindi conosciamo i due cateti del triangolo rettangolo EKD, e possiamo calcolarci l'ipotenusa DE:
DE²=(21/5)²+(3/5)²=(3/5)²(7²+1)=(3/5)²(25·2)=3²·2, da cui si ricava la risposta di Gianfranco.

Ossevazioni:
1ª) Non ho riportato le figure per due motivi: io per la risoluzione non le ho usate, ma soprattutto perché non mi riesce.
2ª) "Noi matematici" (e non solo) continuiamo a dire "CE=7", anche se è inesatto (Sì, lo so ceh voi non lo fate, ma io sì), e "la lunghezza di CE è 7", ma questo non mi pare così chiaro: io non conosco nessun "segmento" che abbia per lunghezza un numero, ma la lunghezza può essere 7cm, 7 metri, sette pollici, sette u, con u lunghezza ...
3ª) Ribadisco che a me sembrava che la mia idea fosse quella "ovvia", che a tutti i risolutori sarebbe venuta per prima, invece ci sono teste diverse, e soprattutto la matematica è decisamente più varia e organica di quanto possiamo anche lontanamente immaginare.

[Bruno]

Osservazioni puntualissime, Gaspero (bentornato ): quello schema, in effetti, l'ho preso da un gruppo social di appassionati di matematica ricreativa.