Sempre 35.

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Bruno
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Sempre 35.

Messaggio da Bruno »

Risolvere questo problemino mi ha divertito :D

Trovare gli esponenti $\,x\,$ e $\,y\,$ per i quali $\displaystyle \; 2^x+3^y\;$ sia divisibile per $\, 35$.
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
(Biagio Marin)

delfo52
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Re: Sempre 35.

Messaggio da delfo52 »

primo passo.
le potenze di 2, finiscono in 2-4-8-o 6 (pari)
le potenze di 3, finiscono in 3-8-7 o 1 (dispari)
i multipli di 35 finiscono in 5 o 0
un pari + un dispari non possono fare pari, quindi i valori cercati finiscono per 5 (2+3 o 8+7)
Enrico

panurgo
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Re: Sempre 35.

Messaggio da panurgo »

I numeri della forma

$\left\{\begin{array}{lC}
\displaystyle x=2m + 1 \\
\displaystyle y=12n-2m + 5
\end{array}\right.$

con

$\displaystyle n\geq\frac{2m-5}{18}$

es.

$\begin{array}{lC}
2^1+3^5 = 245 =35 \cdot 7 \\
2^1+3^{17} = 129140165 =35 \cdot 3689719 \\
2^1+3^{29} = 68630377364885 =35 \cdot 1960867924711 \\
\vdots \\
2^3+3^3 = 35 =35 \cdot 1 \\
2^3+3^{15} = 14348915 =35 \cdot 409969 \\
\vdots \\
2^5+3^1 = 35 =35 \cdot 1 \\
\vdots
\end{array}$

ma serve la dimostrazione...
Ultima modifica di panurgo il ven lug 31, 2020 11:47 am, modificato 1 volta in totale.
il panurgo

Principio di Relatività: {\bb m} \not \right {\bb M} \ \Longleftrightarrow \ {\bb M} \not \right {\bb m}
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

Bruno
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Re: Sempre 35.

Messaggio da Bruno »

Aspettiamo la dimostrazione :wink:

(C'è un errore di battitura nella disuguaglianza.)
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panurgo
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Re: Sempre 35.

Messaggio da panurgo »

Per prima cosa ricordiamo che $a\times b\;\left(\text{mod}\;c\right)=a\;\left(\text{mod}\;c\right)\times b \;\left(\text{mod}\;c\right)$.
Vediamo cosa valgono le potenze di $2$ e di $3$ modulo $35$: moltiplichiamo precedente potenza per $2$ fino a che superiamo il $35$ con il $64$ il cui modulo è $29$; indi procediamo a moltiplicare il suddetto modulo ottenendo $58$, prendiamo il modulo e continuiamo. Lo stesso, mutatis mutandis, per le potenze di $3$.

$\begin{array}{|c|c|c|C}
\hline
k & 2^k \;\left(\text{mod}\;35\right) & 3^k \;\left(\text{mod}\;35\right) \\
\hline
1 & 2 & 3 \\
2 & 4 & 9 \\
3 & 8 & 27 \\
4 & 16 & 11 \\
5 & 32 & 33 \\
6 & 29 & 29 \\
7 & 23 & 17 \\
8 & 11 & 16 \\
9 & 22 & 13 \\
10 & 9 & 4 \\
11 & 18 & 12 \\
12 & 1 & 1 \\
13 & 2 & 3 \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
\hline
\end{array}$

Per seconda cosa ricordiamo che $a+b\;\left(\text{mod}\;c\right)=a\;\left(\text{mod}\;c\right)+b \;\left(\text{mod}\;c\right)$.
La dodicesima potenza vale $1$ modulo $35$ per entrambi quindi non ci sono altri resti possibili e possiamo cercare in questa tabella le coppie di resti che danno somma $35$: $2$ e $33$, $8$ e $27$ ecc.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|C}
\hline
2^k & 2^k \;\left(\text{mod}\;35\right) & 3^h \;\left(\text{mod}\;35\right) & 3^h & k + h\\
\hline
2^1 & 2 & 33 & 3^5 & 6 \\
2^2 & 4 & 31 & ? & ? \\
2^3 & 8 & 27 & 3^3 & 6 \\
2^4 & 16 & 19 & ? & ? \\
2^5 & 32 & 3 & 3^1 & 6 \\
2^6 & 29 & 6 & ? & ? \\
2^7 & 23 & 12 & 3^11 & 18 \\
2^8 & 11 & 24 & ? & ? \\
2^9 & 22 & 13 & 3^9 & 18 \\
2^{10} & 9 & 26 & ? & ? \\
2^{11} & 18 & 17 & 3^7 & 18 \\
2^{12} & 1 & 34 & ? & ? \\
\hline
\end{array}$

Il complemento a $35$ si trova solo per le potenze dispari di $2$, dal che ricaviamo $x=2m+1$; l'ultima colonna contiene la somma degli esponenti che, come si vede, segue la formula generale $x+y=12k+6$ e dalla quale ricaviamo $y = 12n - 2m + 5$: la condizione su $m$ si ricava imponendo che sia $y>0$ ($m$ può essere nullo in linea di principio ecco perché il $\geq$ nella condizione esplicita).
Ultima modifica di panurgo il sab ago 01, 2020 7:00 pm, modificato 1 volta in totale.
il panurgo

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Bruno
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Re: Sempre 35.

Messaggio da Bruno »

Ottimo :D

A me è capitato di fare queste considerazioni, che trascrivo più o meno come sono "apparse" :wink:
Le potenze di 4 e 9 mod 35 restituiscono: (A) 1, 4, 9, 11, 16, 29.
I complementi di questi termini rispetto a 35 non appartengono alla stessa sequenza.
Le potenze dispari di 2 mod 35 forniscono: (B) 3, 12, 13, 17, 27, 33.
Le potenze dispari di 3 mod 35 porgono invece: (C) 2, 8, 18, 22, 23, 32.
I complementi rispetto a 35 dei termini di (B) e (C) non rientrano in (A).
Pertanto, gli esponenti delle potenze 2ˣ e 3ʸ devono essere entrambi dispari.
Vediamo allora come combinare i resti.
Scriviamoli innanzitutto secondo l'ordine naturale degli esponenti dispari (le sequenze si ripetono ciclicamente ogni 6 termini):
. 2ˣ mod 35: 2, 8, 32, 23, 22, 18, 2, 8, 32, 23, 22, 18, ...
. 3ʸ mod 35: 3, 27, 33, 17, 13, 12, 3, 27, 33, 17, 13, 12, ...
Abbiamo due coppie con i termini nella stessa posizione: 8 e 27 per x e y mod 12 = 2·1+1 = 3; 22 e 13 per x e y mod 12 = 2·4+1 = 9.
Le altre coppie sono, contando ancora le posizioni per trovare i resti:
2 (x mod 12 = 2·0+1 = 1) e 33 (y mod 12 = 2·2+1 = 5),
32 (x mod 12 = 5) e 3 (y mod 12 = 1),
23 (x mod 12 = 2·3+1 = 7) e 12 (y mod 12 = 2·5+1 = 11),
18 (x mod 12 = 11) e 17 (y mod 12 = 7).
In sintesi, il nostro interesse deve ridursi ai numeri dispari secondo questi accoppiamenti modulari:
x, y mod 12 = 3 oppure 9;
x mod 12 = 1 e y mod 12 = 5 (o viceversa);
x mod 12 = 7 e y mod 12 = 11 (o viceversa).
E da ciò, volendo, si possono dedurre le formule correttamente indicate da Guido.
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