L'isola dei camaleonti

[Gianfranco]

Cari amici, è un periodo in cui sto in casa più del solito, in ascolto dei notiziari sul Coronavirus e in attesa di buone notizie.
In tema di matematica ricreativa, mi tornano in mente problemi come questo. Non ricordo se è già stato postato sul nostro Forum.
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In un'isola vivono 2 camaleonti blu, 5 gialli e 3 verdi.
Se due camaleonti di due colori diversi si incontrano, cambiano entrambi colore e diventano del terzo colore.
Per esempio, se si incontrano un camaleonte verde e uno giallo diventano entrambi blu.
a) Descrivete la più breve sequenza di incontri in cui tutti i camaleonti diventano verdi.
b) Dimostrate che i camaleonti dell'isola, in queste circostanze, non potranno mai diventare tutti gialli.
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[franco]

a) 5 incontri:
Giallo + Verde = 2 Blu.
A questo punto i 4 Blu incontrano uno a uno i 4 Gialli e tutti diventano Verdi

[Bruno]

Concordo con Franco, su questo primo punto.

[gnugnu]

Indicando con $ b $ e $ g $ il numero di camaleonti blu e gialli presenti in dato momento (il numero de verdi sarà $ 10-b-g $); la differenza $ b-g $: non cambia se si incontrano un camaleonte giallo con uno blu, aumenta di $ 3 $ se si incontrano un giallo con un verde, diminuisce di $ 3 $ nel restante caso. Questa differenza, che inizialmente [2, 5, 3] vale $ -3$, non potrà che essere sempre multipla di $ 3 $; quindi alle due situazioni [10, 0, 0] e [0, 10, 0] non si può giungere, mentre si può arrivare a [0, 0, 10]. Come già indicato da Franco e Bruno basteranno $ 5 $ incontri. Le possibili sequenze distinte sono tre.
Ciao

[Pasquale]

Per diventare tutti blu?

[Gianfranco]

Per diventare tutti blu?

Come spiegato da gnugnu, non è possibile raggiungere la configurazione (blu, gialli, verdi)=(10, 0, 0), cioè diventare tutti blu.
Infatti gialli-verdi inizialmente vale 5-3=2
Ad ogni passaggio, tale differenza può rimanere uguale o aumentare di 3 o diminuire di 3, perciò il numero dei gialli non potrà mai essere uguale a quello dei verdi. Quindi i due colori non potranno mai annullarsi entrambi assieme. (questo è un ragionameno leggermente diverso ma equivalente a quello di gnugnu)

[franco]

Indicando con $ b $ e $ g $ il numero di camaleonti blu e gialli presenti in dato momento (il numero de verdi sarà $ 10-b-g $); la differenza $ b-g $: non cambia se si incontrano un camaleonte giallo con uno blu, aumenta di $ 3 $ se si incontrano un giallo con un verde, diminuisce di $ 3 $ nel restante caso. Questa differenza, che inizialmente [2, 5, 3] vale $ -3$, non potrà che essere sempre multipla di $ 3 $; quindi alle due situazioni [10, 0, 0] e [0, 10, 0] non si può giungere, mentre si può arrivare a [0, 0, 10]. Come già indicato da Franco e Bruno basteranno $ 5 $ incontri. Le possibili sequenze distinte sono tre.
Ciao

Non sono sicuro di avere capito bene ...
Siamo d'accordo che la differenza B-G rimane sempre inalterata oppure cambia di 3 unità per volta, ma il numero di camaleonti verdi è dato da 10 meno la somma B+G, non la differenza ...

[Gianfranco]

Siamo d'accordo che la differenza B-G rimane sempre inalterata oppure cambia di 3 unità per volta, ma il numero di camaleonti verdi è dato da 10 meno la somma B+G, non la differenza ...

(Secondo me) quella parte del ragionamento di gnugnu serve a dimostrare l'impossibilità che i camaleonti diventino tutti gialli o tutti blu.
Infatti, se blu-gialli = multiplo di 3 allora non si possono reggiungere le configurazioni:
(blu, gialli, verdi) = (10, 0, 0) perché 10-0 non è multiplo di 3
(blu, gialli, verdi) = (0, 10, 0) stesso motivo
Invece, come raggiungere la configurazione (0, 0, 10) è stato dimostrato costruttivamente.

[Bruno]

Pare così anche a me

[gnugnu]

... ma il numero di camaleonti verdi è dato da 10 meno la somma B+G, non la differenza ...

ma allora dillo che ce l'hai con me
$ v=10-b-g=10-(b+g) $
L'unico scopo di quella posizione consiste nel sottolineare che, per individuare la possibilità o l'impossibilità di raggiungere una certa situazione, basta ragionare sulla differenza di due sole numerosità.
Ciao

[franco]

Capito.