L'icosaedro

[franco]

Scriviamo un numero intero ≥ 0 su ogni faccia di un icosaedro regolare in modo che la somma di tutti i numeri scritti sia uguale a 39.
Dimostrare che ci sono almeno due facce con un vertice in comune sulle quali è scritto lo stesso numero.

icosaedro.png (10.73 KiB) Visto 8265 volte

diophante.fr D.361

[delfo52]

prendiamo un vertice a caso . vi convergono cinque facce.
La somma 39 può essere composta da varie combinazioni di numeri diversi da zero.
ce ne sono con cinque numeri diversi?
sì, anche con sei numeri diversi (con sette non mi è riuscito di trovarne)
in tutti i casi i numeri diversi da 1 appaiono una volta sola, al massimo due (due volte il 2, o due volte il 6...)
e comunque, una volta sistemato un vertice, per gli altri rimane un plebiscito di 1, per cui non c'è scampo
Più approssimativa di così, non saprei come fare...

[franco]

Considerando che è ammesso anche lo zero, in teoria è possibile raggiungere la somma 39 anche con 9 numeri diversi.
Intuitivamente sembra evidente che almeno due facce col vertice in comune debbano essere uguali ma credo che dimostrarlo non sia banale.

Premetto che non conosco la risposta a questo problema che ho trovato sul sito francese su cui vado a curiosare di tanto in tanto ma ho anche il dubbio che il numero 39 scelto per il problema non sia casuale.
Forse, se la somma fosse 40 ci sarebbe una configurazione senza facce uguali col vertice in comune.

Vediamo se nel fine settimana riesco a dedicarci un po' di tempo...

[giobimbo]

Forse ho capito male, ma mi sembra che la numerazione della figura sotto contraddica i termini del problema...

Base5 icosaedro.png (42.31 KiB) Visto 8243 volte

[Gianfranco]

(edit) Credevo di non aver trovato la soluzione, invece credo di averla trovata.

Prendiamo un vertice a caso. Vi convergono cinque facce.
La somma 39 può essere composta da varie combinazioni di numeri diversi da zero.
ce ne sono con cinque numeri diversi?
...

E' giusto, ma in questo caso bisogna anche tener conto che ogni faccia ha tre vertici, il che complica le cose.
Propongo di partire dalla mappa piana dell'icosaedro.
Ho colorato una faccia di giallo.
Immagino di scrivere un numero a in quella faccia.
Coloro di blu tutte le facce in cui non posso più scrivere il numero a.

mappa_icosaedro_col1.png (16.57 KiB) Visto 8239 volte

Coloro poi un'altra faccia di giallo tra quelle rimaste, vi scrivo il numero a e procedo come prima fino ad aver colorato tutte le facce di blu o giallo.

mappa_icosaedro_col2.png (17.72 KiB) Visto 8239 volte

Osservo che un dato numero si può scrivere al massimo in 4 facce.

Per sapere se si possono scrivere, con questo criterio, dei numeri la cui somma è 39 devo considerare le partitizioni intere di 39 (più lo zero).
O meglio, le partizioni formate da 20 addendi perché l'icosaedro ha 20 facce.
Devo trovare se esiste una partizione formata da numeri ripetuti NON PIU' di 4 volte.

a) se considero soltanto le partizioni intere (numeri >0) posso verificare che NON ESISTE una partizione di 20 addendi che soddisfa le condizioni.

b) se scrivo il numero 0 su quattro facce, allora posso considerare le partizioni intere formate da 20-4=16 numeri.
Ecco, non esiste neppure in questo caso (ricerca esaustiva col computer).

c) Se invece la somma fosse 40, questa è la soluzione unica, come accennato da Franco:
0,0,0,0,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4

(edit) d) Se vogliamo ottenere 39, dobbiamo diminuire di una unità uno dei numeri, il che ci porta ad avere 5 numeri uguali.

Quindi nell'icosaedro avremo 2 numeri uguali su due facce che si toccano per un vertice.
Principio dei cassetti.


Ecco un disegno bianco per fare delle prove.

mappa_icosaedro.png (15.69 KiB) Visto 8239 volte

[franco]

(edit) Credevo di non aver trovato la soluzione, invece credo di averla trovata.

Gianfranco,
Mi sembra tutto corretto.
Ero arrivato anch'io a costruire l'icosaedro "a somma 40" anche se partendo da uno sviluppo del solido molto meno bello

icosaedro1.png (81.02 KiB) Visto 8234 volte

... ma non aggiungo altro visto che la tua spiegazione è già inappuntabile.

ciao

[panurgo]

(edit) Credevo di non aver trovato la soluzione, invece credo di averla trovata.

Baciamo le mani...

[delfo52]

scusate; avevo letto male sulla possibilità dello zero. La vista vacilla...