Tombola

[ronfo]

Ciao a tutti i basecinquini
ho constatato che ho una quantità di documentazione matematica che se dovessi leggerla tutta dovrei campare più di due secoli.
Tra i tanti libricini ho trovato un giochino piuttosto simpatico.
Prendiamo il tabellone della Tombola possiamo sommare tre numeri contigui qualunque
sia in orizzontale , che in verticale che nelle diagonali otterremo sempre un multiplo di tre
come si può facilmente vedere nell'esempio qui sotto
46 47 48 49 50
56 57 58 59 60
66 67 68 69 70
76 77 78 79 80
86 87 88 89 90

1) 57+68+79
2) 58+68+78
3) 59+68+77
4) 67+68+69

ecc..
questa caratteristica non è del tutto ovvia
riuscite a dimostrarlo?

Vale per ogni tabella numerica simile di ordine qualsiasi?
Ciao

[panurgo]

Nella tabella della Tombola tre numeri consecutivi lungo qualsiasi direzione hanno differenze costanti.

Sia $d$ la differenza e avremo

$\displaystyle \left\{\begin{array}{lCCC} a = n \\ b = n + d \\ c = n + 2d \end{array} \right.\qquad\Longrightarrow\qquad a+b+c=3\left(n+d\right)$

[Gianfranco]

Ottimo ragionamento, Panurgo.
Il tabellone della tombola è formato da 9 righe x 10 colonne ma il tuo ragionamento vale per qualunque griglia di n righe x k colonne (con n>=3).
Io avevo preparato questo schema:

tombola_mult_3.png (18.21 KiB) Visto 11096 volte

Da cui si ricava:
$n-1+n+n+1=3n$
$n-k+n+n+k=3n$
$n-k-1+n+n+k+1=3n$
e così via.

[Gianfranco]

Panurgo ha scritto.

Nella tabella della Tombola tre numeri consecutivi lungo qualsiasi direzione hanno differenze costanti.

Ciò significa che sono in progressione aritmetica.
Anche se sono più di tre.
Ciò permette di generalizzare il problema da così:

Prendiamo il tabellone della Tombola possiamo sommare tre numeri contigui qualunque
sia in orizzontale , che in verticale che nelle diagonali otterremo sempre un multiplo di tre

a così:
Prendiamo i numeri naturali maggiori di 0 scritti in una griglia di $k$ colonne.
Possiamo sommare $a$ numeri contigui qualunque sia in orizzontale sia in verticale sia nelle diagonali e otterremo sempre un multiplo di ...???

• un multiplo di $a$ se $a$ è dispari;
• un multiplo di $\frac{a}{2}$ se $a$ è pari.

Sarà giusto?

[panurgo]

E' così

$\displaystyle S = a \cdot n + \frac {a \left( a - 1\right)}2$

se $a$ è dispari, $\left( a - 1\right)$ è pari e il $2$ al denominatore "lascia in pace" $a$; viceversa, se $a$ è pari è $\left( a - 1\right)$ a essere dispari e a "sopravvivere" alla divisione per $2$...

[Gianfranco]

Perfetto.
Ormai stiamo parlando di progressioni aritmetiche, quindi aggiungerei:
$S=a n+\frac{\left( a-1\right) a d}{2}$
dove $d$ è la ragione della progressione.

Tornando alla tombola, è valida quest'altra generalizzazione?

tombola_2.PNG (68.54 KiB) Visto 11038 volte

Se scriviamo $k^2$ numeri naturali in una griglia $k \times k$ (come nel tabellone della tombola) e prendiamo $n$ numeri successivi "allineati" lungo una qualunque retta, essi sono in progressione aritmetica (?)
Quindi sono valide le proprietà viste prima (?)

Sarà vero?

P.S. Ho cambiato la variabile da $a$ a $n$.

[panurgo]

Nella tabella della Tombola tre numeri consecutivi lungo qualsiasi direzione hanno differenze costanti.

[Gianfranco]

Giusto!
Pensavo (erroneamente) che ti riferissi a "qualsisasi" direzione fra le tre (orizzontale, verticale, diagonale) di cui parlava il problema posto inizialmente.