Tre volte quattro.

[Bruno]

Nessun quadrato perfetto può terminare con una cifra ripetuta solo tre volte, a meno che questa cifra non sia 4.

Le altre cifre si possono escludere con semplici osservazioni, mentre per 444 non è difficile trovare infiniti esempi.
In effetti, se scriviamo di seguito a un multiplo di 5 il numero 38, otteniamo un valore il cui quadrato termina con 444.
Per esempio: 5·13 = 65 e 6538² = 42745444.
Lo stesso accade se consideriamo il numero che precede un multiplo positivo di 5 e, al posto di 38, utilizziamo 62.
Un esempio: 5·13-1 = 64 e 6462² = 41757444.

Esistono dei numeri i cui quadrati finiscano con 000111222333444 ?

[vittorio]

152297262807038^2 = 23194456258516000111222333444
402297262807038^2 = 161843087662035000111222333444
652297262807038^2 = 425491719065554000111222333444
902297262807038^2 = 814140350469073000111222333444
183029885630462^2 = 33499939033900000111222333444
433029885630462^2 = 187514881849131000111222333444
683029885630462^2 = 466529824664362000111222333444
933029885630462^2 = 870544767479593000111222333444
66970114369538^2 = 4484996218669000111222333444
316970114369538^2 = 100470053403438000111222333444
566970114369538^2 = 321455110588207000111222333444
816970114369538^2 = 667440167772976000111222333444
97702737192962^2 = 9545824854997000111222333444
347702737192962^2 = 120897193451478000111222333444
597702737192962^2 = 357248562047959000111222333444
847702737192962^2 = 718599930644440000111222333444

Vittorio

[Bruno]

Ottimo, Vittorio

Per quello che vedo, tu hai condotto una ricerca metodica che ti ha portato alle soluzioni primitive.

In effetti, partendo da $\,{\small \{66970114369538, 97702737192962, 152297262807038, 183029885630462 \} }\,$ e
utilizzando la ricorrenza $\,{\small t_{i+4}\, = t_{i} + 25\cdot 10^{13}}\,$, si ottengono le rimanenti dodici basi che hai tabellato
nella prima colonna.

Per trovare altri infiniti numeri con la caratteristica richiesta basta scrivere davanti a una qualsiasi di
quelle basi tutte le cifre che vogliamo $\;$
E così anche $\,{\small 12345678900987654321\underline{933029885630462}}\,$ (utilizzando l'ottava base del post precedente)
soddisfa il problema.
Nel caso di $\,{\small 66970114369538}\,$ e $\,{\small 97702737192962}\,$, poiché entrambi hanno 14 cifre, dobbiamo aggiungere
all'inizio, prima di tutto, uno zero.
Per fare un esempio, poiché $\;{\small 66970114369538^2 \,=\, 4484996218669000111222333444}$, vediamo che
${\small (n\cdot 10^{15} + 66970114369538)^2 \,=\, k\cdot 10^{15}+111222333444}\;$ per un certo $\,\small k\,$ e un arbitrario naturale $\,\small n$.
Infatti, l''intero $\,{\small k\cdot 10^{15}}\,$ non influenza il numero $\,{\small 111222333444}\,$ e aggiunge tre zeri alla sua sinistra.


Vittorio, come sei arrivato ai tuoi risultati? Puoi darci almeno un accenno?

Grazie

[vittorio]

Accogliendo l'invito di Bruno ho scritto le seguenti note.

1) In primo luogo ho cercato tutti i numeri il cui quadrato termina con 444. Per questo è sufficiente testare tutti i numeri da 1 a 999. Una rapida ricerca ha trovato i numeri 38, 462, 538, 962; per semplicità li ho chiamati primitivi. I numeri richiesti avranno quindi la forma:
$k*10^3+38, k*10^3+462, k*10^3+538, k*10^3+962$ con k positivo arbitrario.

2) Ho quindi cercato tutti I numeri il cui quadrato termina con 333444. Tali numeri dovranno essere tra quelli individuati al punto 1). Se p1 è uno dei suddetti primitivi allora $(p1+k*10^3)^2$ termina in 444 quindi $((p1+k*10^3)^2-444)/10^3$ è un intero che deve terminare in 333.
Una ricerca, sempre con k tra 1 e 999, porta a trovare, per p1=38, I numeri 57, 307, 557, 807. Altri valori si potranno trovare con gli altri primitivi.
A questo punto il gioco è fatto in quanto la procedura suggerita è ricorsiva.

3) Per trovare i numeri il cui quadrato termini in 222333444, se p2 è uno dei primitivi trovati al punto 2) si osserva che $((p2+k*10^6)^2-333444)/10^6$ è un intero in cui si deve determinare k (tra 1 e 999) in modo che termini in 222; e così via.

4) La ricerca va fatta per tutti I primitivi disponibili ad ogni passo. Non da tutti I primitivi si ottengono risultati la catena a quel punto si ferma.

5) Alla fine si ottengono I risultati che ho inviato in precedenza.

6) Devo aggiungere che mi sono servito molto del Digital Basic (alla massima precisione) per effettuare Ie ricerche ed I relativi calcoli.
I programmi in Basic si costruiscono facilmente dalle procedure indicate.

Vittorio

[Bruno]

Fantastico, Vittorio, grazie mille

Non so cosa sia il Digital Basic, ma la tua risposta mi sembra efficace.