Il quadrato nel quadrato

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Paoletto si è iscritto di recente a un corso di ceramica.

Come esercizio ha creato una bella piastrella quadrata, di lato unitario, finemente decorata.

Ma mentre la trasporta per esibirla inciampa e ... disastro! La piastrella cade per terra e si rompe.

Paoletto, dispiaciuto, nota che la piastrella si è rotta lungo due linee rette.

Nota anche che da uno dei pezzi si potrebbe ricavare un quadrato di lato pari a un terzo della piastrella originale.

Nell'immagine si vedono 3 modi in cui potrebbe essersi rotta la piastrella di Paoletto.

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Dimostrare che in realtà, dati due tagli lineari in un quadrato unitario, si trova sempre un quadrato di lato 1/3 contenuto in uno dei pezzi ricavati e con i lati paralleli a quelli del quadrato grande.

Saluti
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P.S.: una volta risolto questo problema, potreste dimostrare che lo stesso vale se i tagli sono 3, prendendo un quadrato di lato 1/4.

[panurgo]

Si danno due possibilità:

caso 1: i due segmenti non si intersecano

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I due segmenti intersecano una diagonale principale suddividendola in tre parti sulle quali si possono costruire tre quadrati come in figura: almeno uno dei tre quadrati deve avere il lato maggiore o uguale ad un terzo di quello della piastrella.

caso 2: i due segmenti si intersecano

Supponiamo che i segmenti in questione siano le diagonali del quadrato

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Il quadrato piccolo in figura ha evidentemente il lato pari ad un terzo della piastrella (le sue diagonali sono congruenti ai tratti delle diagonali della piastrella che congiungono i vertici): per impedire questo quadrato sarebbe necessario abbassare almeno una delle due diagonali con la conseguenza di creare uno spazio maggiore dall'altra parte.

Potenza delle simmetrie...


Per quanto riguarda la rottura lungo tre segmenti l'argomento del caso 1 continua a valere: devo studiare il caso dei segmenti che si intersecano.

PS

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