Il regalo preciso

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Manca ormai poco a Natale (be', dipende da come si definisce "poco", visto che è appena passato Ferragosto),
quindi bisogna iniziare a pensare ai regali. Nello specifico, il regalo che dobbiamo spedire al nostro amico
Asdrubale Schioppacanestri, bidello della facoltà di Cacopedia Minore (vedi qui)
si presenta dentro una elegante scatoletta perfettamente cubica [*], di lato 1 dm.

Si tratta di avvolgerlo nella carta da pacchi, ma essendo questa piuttosto costosa, vorremmo risparmiarla
usandone la minore quantità possibile. Bisogna partire da un unico pezzo di carta, avente una forma semplice
(in modo da non dovere impazzire nel prendere le misure), e avvolgerlo strettamente sulla scatola, coprendola
completamente.

Per risparmiare tempo e lavoro di forbice, la carta non potrà essere strappata o tagliata; inoltre, essendo
abbastanza delicata, non è neanche possibile "stiracchiarla" per facilitare l'avvolgimento. Invece non ci
sono problemi se la carta si sovrappone in più strati: in tal caso, possiamo ignorare lo spessore degli strati di
carta, essendo questa molto sottile.

Le opzioni sono le seguenti: possiamo partire con un pezzo di carta triangolare (a forma di triangolo equilatero,
per l'esattezza) o di quadrato perfetto. Quale delle due forme ci consente di usare la quantità di carta minore
possibile?

[*] Intendo dire che la scatola è un cubo una volta chiusa, tenendo conto del coperchio; quest'ultimo si chiude
perfettamente, senza lasciare un bordo tra la parte inferiore e superiore della scatola, che quindi si può
considerare come un cubo "liscio" su tutte e 6 le facce.

[Massimo]

quadrata di area 12.5dmq

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Massimo, potresti mostrare un diagramma della tua soluzione?
In ogni caso, quella che hai trovato non è ancora ottimale...

P.S. Per rendere "invisibile" il testo, i colori esadecimali da usare sono E7D9B2 e EDE1C2

[Massimo]

il disegno è lo sviluppo di un cubo con un quadrato disposto coi lati a 45° rispetto lo sviluppo stesso

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Quindi una cosa così?

cubo_piano.png (21.12 KiB) Visto 20935 volte

Bene, ma si può ancora scendere a 8 cm^2...

[delfo52]

un triangolo isoscele di base 10 e altezza 10 fa lo stesso. ma non è equilatero.

[Massimo]

sì l'immagine di mio riferimento è quella.

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@ Delfo: Intendi dire una cosa come in figura?

sviluppo.png (8.12 KiB) Visto 20910 volte

A questo punto, si potrebbe considerare come terzo problema quello di impacchettare in maniera
ottimale il cubo con un foglio a forma di triangolo isoscele (avente angolo al vertice pari a 45°, come
quello che hai proposto).

Nota bene: per questo ultimo problema non ho soluzione, ergo la sfida è interamente per i basecinquini...

Osservo che però dovremmo almeno porci il problema delle parti "restanti" al di fuori dello sviluppo del
cubo, ossia non è detto che queste ultime si ripieghino senza problemi; bisognerebbe definire, come in
un origami, quali pieghe sono "a monte" e quali "a valle".

[delfo52]

alla rovescia, col lato differente più corto in alto (nel tuo schema) o a sn (nel prec)

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Capisco, allora una cosa del genere (il triangolo equilatero da te indicato è in nero; lo sviluppo è in rosso scuro).
Con una costruzione analoga (che non descrivo per mancanza di tempo, ma che credo sia intuitiva) si può
trovare una soluzione per il problema originale del triangolo equilatero: la soluzione in figura è in colore
blu.

sviluppo.png (35.09 KiB) Visto 20905 volte

Così facendo si ha un'area della carta di circa 13.67 dm^2, essendo 6 dm^2 l'area dello sviluppo del cubo.
La soluzione migliore nota per il triangolo equilatero consente di risparmiare circa il 40%...

[Gianfranco]

Ho provato a fare qualche esperimento pratico, tra una riunione di lavoro e l'altra, e direi che lo sviluppo del cubo a forma di croce latina è un po' ingannevole.
Liberandosi da questo blocco, diventa più facile migliorare le soluzioni date fin'ora.
Mi fermo qui...

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Gianfranco è sulla buona strada.
Per lo sviluppo sul quadrato, anziché la croce latina, si potrebbe considerare quella greca... con le debite modifiche.

Saluti
Zerinf

[franco]

Regalo perfetto

regaloperfetto.png (6.18 KiB) Visto 20836 volte

Ci ho messo un sacco di tempo a inserire l'immagine.

Non mi ricordavo più come si faceva

Spero che sia autoesplicativa.

ciao

[Gianfranco]

Perfetto, Franco, quindi il lato del foglio di carta quadrato è:
$2sqrt{2}$

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Risposta esatta per franco.
Di più, si può anche dimostrare che è impossibile fare meglio di così: lo sviluppo trovato è ottimale. Si accettano dimostrazioni, naturalmente.

Rimane aperto il problema del triangolo equilatero, che riserva anche una sorpresa...