I ladri e l'oro

[0-§]

Nove membri della premiata ditta "Ladrocinî e ruberie" hanno messo le mani su una grossa barra d'oro.

Si tratta di suddividere equamente il maltolto tra i membri della gang criminale, quando all'improvviso
due di loro, discutendo su chi dei due abbia la mascherina nera più alla moda, iniziano a litigare e nel
giro di pochi secondi si minacciano a vicenda con le pistole.

Nel frattempo che i due delinquenti decidono se ammazzarsi a vicenda, i loro colleghi devono decidere
come dividere in pezzi la barra d'oro, per ottenere una suddivisione equa. Intendono dividere la barra
subito, senza aspettare di vedere l'esito della sparatoria, e non vogliono dopo dover fare altre suddivisioni.

I possibili risultati sono 3:
- i due esagitati si calmano e abbassano le armi;
-uno dei due, più rapido, fa secco l'avversario;
-dimostrando notevole stupidità, i due criminali si uccidono a vicenda.

Nei tre casi, si dovranno dividere i pezzi ricavati dalla barra d'oro rispettivamente tra 9, 8 e 7 ladri, in
modo ovviamente che ciascuno riceva un'uguale quantità (altrimenti si rischiano nuove sparatorie!).
Siccome spezzare una barra d'oro non è facile, i membri della gang vorrebbero fare meno tagli possibili.
Qual è il numero minimo di pezzi in cui deve venire divisa la barra?

[0-§]

P.S. Per semplificare i conti, diciamo che la barra pesa esattamente 7*8*9=504 grammi d'oro (per un valore intorno a 16.300 €, secondo questo sito). Il problema chiede di determinare in quanti pezzi va divisa la barra e il peso di ciascuno di essi; bisogna inoltre descrivere, in ciascuno dei tre casi, come vengono suddivise le parti tra i membri rimasti in vita della banda.

[Alessandro]

Ciao,
il numero minimo di pezzi è 28;
servono quindi 27 tagli.


Alessandro

[franco]

Secondo me si potrebbe dividere la barra in 22 parti:
7 x 56 g
8 x 7 g
6 x 9 g
1 x 2 g

Se i birbanti spartiranno il bottino in 9:
- 7 prendono una barra da 56 g
- 1 prende tutte le barre da 7 g (8x7=56)
- 1 prende il resto (6x9+2=56)

Se i birbanti spartiranno il bottino in 8:
- 7 prendono una barra da 56 e una da 7 g (56+7=63)
- 1 prende il resto (6x9+7+2=63)

Se i birbanti spartiranno il bottino in 7:
- 6 prendono una barra da 56, una da 7 e una da 9 g (56+7+9=72)
- 1 prende il resto (56+2x7+2=72)

ciao

Franco

[0-§]

@Alessandro
Franco è riuscito a fare di meglio, ma potresti spiegare il tuo procedimento?
Dicci quanto dovrebbe pesare ciascun pezzo e come questi andrebbero suddivisi nei 3 casi.

@Franco: la tua soluzione è corretta, ma si può fare di meglio
Chi riesce ad andare sotto i 22 pezzi di Franco?

[panurgo]

Anch'io ho trovato abbastanza facilmente la soluzione proposta da franco: non mi resta da aggiungere che sono necessari nove (9) tagli, come si vede dal disegno

panurgoILadriELOro001.png (4.68 KiB) Visto 26682 volte

sei tagli orizzontali dividono in sette parti; il secondo taglio verticale da sinistra toglie a ciascun pezzo 1/8 cosicchè abbiamo sette pezzi da 7/8 e sette da 1/8 che messi insieme fanno 7/8 pure loro; il primo taglio a sinistra toglie 1/9 da ciascun pezzo da 7/8 mentre il taglio piccolo a destra toglie 1/9 dai sette pezzi da 1/8.

Lavoriamo ancora per ridurre il numero di pezzi: chissà se serviranno più tagli (ho idea di sì...)

[Alessandro]

Ciao 0-§

la mia soluzione era la seguente:

7 x 56 g
7 x 8 g
7 x 7 g
7 x 1 g

Alessandro

[panurgo]

Si può anche partire dividendo prima il lingotto in otto parti

panurgoILadriELOro002.png (3.96 KiB) Visto 26664 volte

con $22$ pezzi e $14$ tagli; o prima in nove parti

panurgoILadriELOro003.png (4.33 KiB) Visto 26664 volte

sempre con $22$ pezzi ma con ben $18$ tagli.

Infine ho escogitato questo: dei pezzi di peso $a$, $b$ e $c$ tali che

$\displaystyle \left\{
\begin{array}{lC}
a\,+\,b\,+\,c\,=\,\frac{504}7\,=\,72 \\
a\,+\,b\,=\,\frac{504}8\,=\,63 \\
a\,+\,c\,=\,\frac{504}9\,=\,56
\end{array}
\right.$

da cui si ricava (con facile algebra)

$\displaystyle \left\{
\begin{array}{lC}
a\,=\,47 \\
b\,=\,16 \\
c\,=\,9
\end{array}
\right.$

panurgoILadriELOro004.png (6.61 KiB) Visto 26662 volte

Per ottenere sette parti abbiamo $7\left(a\,+\,b\,+\,c\right)$, per ottenerne otto abbiamo $7\left(a\,+\,b\right)\,+\,\left(7c\right)$ mentre per ottenerne nove abbiamo $7\left(a\,+\,c\right)+\,2\left(7b/2\right)\,$: sono, ancora una volta, $22$ pezzi e $9$ tagli.

Ora sono alquanto curioso riguardo alla soluzione con meno pezzi...

[0-§]

Tutte le risposte mi sembrano interessanti, ma leggendo quello che avete scritto temo di
essermi espresso male nel formulare il problema

Per essere chiari: quello che vogliamo minimizzare è il numero di pezzi, non di
tagli. Ingenuamente, avevo supposto che le due cose fossero equivalenti, ma i
basecinquini ne sanno una più del diavolo.

Continuate comunque, il problema ha preso una piega imprevista ma interessante.

Confermo comunque che si riesce a fare con meno di 22 pezzi.

[panurgo]

A me era chiaro che intendevi il numero minimo di pezzi. Comunque mi pareva cosa buona e giusta minimizzare anche il numero dei tagli: tagliare comporta sempre un po' di perdita di materiale, per non parlare della fatica (se è oro a 24 kt è sufficiente un buon coltello, ma a 18 kt...).

[0-§]

Ok panurgo, temevo di non essere stato chiaro.

Dirò allora che la barra può essere suddivisa in soli 18 pezzi.

E la risposta è che i pezzi devono pesare rispettivamente 3,7,9,14,16,18,23,24,25,30,31,32,38,40,42,47,49,56 grammi (ho reso
il testo invisibile, selezionatelo con il mouse per vedere la soluzione).

Se si devono dividere tra 9 persone, si procede così: {3,23,30} {7,49} {9,47} {14,42} {16,40} {18,38} {24,32} {25,31} {56}
(a ciascuna parentesi graffa corrisponde un gangster, dentro alla parentesi sono indicati i pesi dei pezzi che dovrà ricevere).

Per 8 persone si suddivide come {3,18,42} {7,56} {9,24,30} {14,49} {16,47} {23,40} {25,38} {31,32}

Infine per 7 si fa come segue: {3,7,24,38} {9,14,18,31} {16,56} {23,49} {25,47} {30,42} {32,40}

Però non è finita qui: riusciamo a minimizzare i tagli? Inoltre, sapreste dimostrare che non si riesce a fare con meno di 18 pezzi?
Non è difficile trovare che non si riesce a fare con meno di 16 pezzi; un po' più complicato è dimostrare che anche con 16 pezzi
è impossibile. Chi ci prova?

P.S. A quanto ne so è ancora indimostrato che sia impossibile dividere la barra in soli 17 pezzi, ma finora nessuno ci è riuscito,
ergo 18 pezzi dovrebbe essere il limite inferiore.

[Massimo]

alla luce della soluzione sono dell'idea che si possa scendere a 9 tagli anche per quest'ultima.
chi ha voglia di mostrare le equazioni delle 3 curve che rendono continua senza cuspidi la suddivisione tra il 3 ed il 30 rispetto il tratto orizzontale alla sua sx (si noti come sarà dipendente dal rapporto tra i lati del lingotto); tangente al tratto diagonale intermedio (di suddivisione dei 38-18/40-16/42-14) le due curve in alto e in basso (31-25/32-24 e 47-9/49-7)?

al termine quanti colori dovrò almeno usare per non avere 2 pezzi con lati in comune dello stesso colore?