Somma zero sui vertici di un poligono regolare

[Tino]

Ciao a tutti!

Abbiamo un fissato $n \in \mathbb{N}$ e una funzione $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ con la proprietà che ogni volta che $P_1,\ldots,P_n$ sono i vertici di un $n$-agono regolare si ha $\sum_{i=1}^n f(P_i)=0$. Possiamo concludere che $f(P)=0$ per ogni $P \in \mathbb{R}^2$?

[0-§]

Ciao Tino!

Credo di avere dimostrato la tua asserzione, in via elementare, per $n=3$ e per $n=4$. Ossia: se una funzione $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ è tale che, dato un qualunque triangolo equilatero nel piano di vertici $A, B, C$, vale $f(A)+f(B)+f(C)=0$, allora la funzione è identicamente nulla (e così anche se al posto di un triangolo si usa un quadrato).
Ho ben interpretato il problema? Ti risulta che debba essere così? Se sì posto la mia (parziale) soluzione

[Tino]

Ciao zerinfinito ! Sì hai interpretato bene, posta posta!

[0-§]

Ok, ci provo.

Dimostriamo per assurdo il caso $n=3$ e supponiamo allora che ci sia un punto $A$ t.c. $f(A)=a\ne0$. Prendiamo un punto $B$ distante 1 da $A$ e definiamo $f(B)=b$ (in generale $b$ potrà essere $\ne0$ oppure no). Da $A$ e $B$ definisco un punto $C$ che forma un triangolo equilatero (di lato unitario) insieme ad A e B: ossia

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, A\\ \,\,\,\,\,\,/\,\, \,\,\,\backslash\\ \,\,\,/\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \backslash\\ B--C$

Per le ipotesi dovrà essere $f(A)+f(B)+f(C)=a+b+f(C)=0 \Rightarrow f(C)=c=-(a+b)$.

Aggiungiamo adesso i punti $D$, $E$ e $F$ come sotto:

$\displaystyle\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,A\\ \,\,\,\,\,\,/\,\,\,\,\,\backslash\\ \,\,\,/\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\backslash\\ B--C--F\\ \,\,\,\backslash\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,/\,\,\backslash\,\,\,\,\,\,\,\,/\\ \,\,\,\,\,\,\backslash\,\,\,\,/\,\,\,\,\,\,\,\,\backslash\,\,/\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,D--E$ [1]

dove i triangoli $\triangle BCD,\,\,\triangle CDE$ e $\triangle CEF$ sono sempre equilateri e di lato unitario.
Si consideri il punto $D$: per l'ipotesi deve valere $f(B)+f(C)+f(D)=0\Rightarrow b+c+f(D)=b-(a+b)+f(D)=-a+f(D)=0 \Rightarrow f(D)=a$.
In maniera analoga si trova $f(C)+f(D)+f(E)=0\Rightarrow c+a+f(E)=-(a+b)+a+f(E)=-b+f(E)=0 \Rightarrow f(E)=b$.
Infine $f(C)+f(E)+f(F)=0\Rightarrow c+b+f(F)=-(a+b)+b+f(F)=-a+f(F)=0 \Rightarrow f(F)=a$.
A questo punto però possiamo considerare il triangolo (equilatero, per costruzione) dato dai punti $A,\,\,D$ e $F$: vale $f(A)+f(D)+f(F)=a+a+a=3a=0 \Rightarrow a=0$, in contraddizione con l'ipotesi.
Che dite?

[1] Con questa espressione penso di poter vincere il premio annuale per "il codice LaTeX più illeggibile"

[Tino]

Ineccepibile

[0-§]

Ma Tino, tu hai una dimostrazione generale? Se sì, direi che possiamo anche evitare le mie dimostrazioni parziali

P.S. Però quella per il caso n=5, che ho trovato oggi, dà luogo a un disegno affascinante

[Tino]

Visto il bel disegno che ci proponi, se anche avessi una dimostrazione generale non so se la posterei

Non ho una dimostrazione generale. Ho fatto i casi $n=3$ e $n=4$, ecco tutto.
Ma sono abbastanza sicuro che sia vero per ogni $n$ perché è un problema che si trova qui

[0-§]

Ah, ho trovato una soluzione piuttosto semplice qui, in fondo alla pagina.

A questo punto sarei curioso però di vedere come hai risolto il caso $n=4$ visto che mi sono reso conto di avere preso la strada più lunga per arrivarci...

[Tino]

Per il caso del quadrato ho fatto un disegno di un quadrato diviso in quattro dagli assi dei lati più il quadrato ottenuto collegando i quattro punti medi dei lati. Il sistema di equazioni risultante prova che il punto centrale è zero.