BAM! Chi ha sparato?

[Gianfranco]

Quesito facile, immagino, per gli esperti di teoria delle probabilità del Forum.

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Sei un soldato in combattimento, rannicchiato in una trincea. Sai per certo che è rimasto UN SOLO soldato nemico sul campo di battaglia, a circa 400 yarde (= 366 m circa) di distanza.
Sai anche che se il nemico è un soldato normale, ha il 30% di probabilità di colpirti con un tiro da quella distanza.
Ma se invece è un cecchino allora la sua probabilità di colpirti con un tiro da quella distanza è dell'80%.
Ti consoli pensando che i cecchini sono rari, quindi è probabilmente solo un soldato normale.
Provi a sbirciare con la testa fuori dalla trincea.
BAM! Un proiettile colpisce il tuo casco e ti rannicchi subito nella trincea.
Pensi: "I cecchini sono rari, ma quel tipo mi ha colpito con un proiettile da 400 yarde di distanza. Forse è un cecchino!"
Dopo pochi minuti, ti fai coraggio e sbirci di nuovo con la testa fuori dalla trincea.
BAM! Un altro proiettile rimbalza sul tuo casco! Giù di nuovo nella trincea.
"Belin," - pensi - "questo dev'essere proprio un cecchino! Farei meglio a chiamare aiuto."
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Qual è la probabilità della tua ipotesi che il nemico sia un cecchino?

(Tratto da: http://commonsenseatheism.com/wp-conten ... 4-2011.pdf)

[Dani Ferrari]

Lo leggo ora. Mi sembra il solito Bayes. La prob. Che un soldato normale ti colpisca due volte e' 0,3x0,3=0,09. Per un cecchino, 0,8x0,8=0,64. Somma 0,73. Ma ti ha colpito 2 volte, quindi si divide per 0,73. Quindi 0,64/0,73=0,877. E' un cecchino nell'87,7% dei casi.

Dani

[Gianfranco]

Grazie Dani, per la risposta.
Taaaanti anni fa ho incontrato il teorema di Bayes, ma solo di passaggio, poi l'ho perso di vista.
Ora l'ho nuovamente incontrato, grazie al problema dei tre arcieri, segnalato da Ivana Niccolai.
Perciò ora, per me, Bayes è una cosa che sto studiando praticamente da zero. Chiedo scusa per la mia ottusità. Gli appunti che pubblico sul sito mi servono proprio a fissare le idee.

Questo problema dell'ultimo soldato mi è piaciuto subito come racconto matematico che coinvolge il lettore personalmente nella "filosofia bayesiana".

Condivido solo in parte la tua soluzione. Nel senso che essa sottintende una probabilità a priori soldato-cecchino 50%-50%.
In realtà, nel racconto, questa probabilità non è detta esplicitamente ma solo accennata. L'impressione è quella che i cecchini siano molto rari rispetto ai soldati.
Se diamo un valore (a priori) a questa impressione, per esempio soldati 90%, cecchini 10%, come cambia la soluzione del problema?

[Gianfranco]

Riprendo il discorso (molto telegraficamente).
La situazione potrebbe essere illustrata così:

ultimo_soldato.png (42.14 KiB) Visto 8331 volte

La probabilità a priori non è indicata nel testo, perciò la consideriamo variabile e la indichiamo con x.
Il grafico seguente mostra come varia la probabilità a posteriori al variare di x.

ultimo_soldatog2.png (15 KiB) Visto 8331 volte

Anche le abilità dei tiratori sono variabili.
Se per esempio modifichiamo le probabilità di fare centro possiamo ottenere grafici in cui la differenza fra probabilità a priori e a posteriori è minore.

ultimo_soldatog1.png (14.73 KiB) Visto 8331 volte

Questo metodo "bayesiano" è affascinante ma dipende molto dall'affidabilità dei dati iniziali. E questi, a loro volta, sono delle valutazioni di probabilità. Come facciamo a sapere quanto sono affidabili?
Io non lo so, ma mi viene da pensare che la "probabilità delle ipotesi" più che essere una misura oggettiva di qualcosa è una misura soggettiva di quanto noi riteniamo "verosimile" quel qualcosa stesso.
Non è una critica, è una considerazione.

OK, forse ho scritto delle banalità ma su questo argomento sono alle prime armi, chiedo scusa.

[Dani Ferrari]

Più' che su presupposti, io mi sono basato sulle uniche info disponibili. Se ci sono anche altre info, chiaro che il calcolo cambia.
La prima volta che mi sono imbattuto in un problema del genere (ma assai più' complicato) non sapevo nulla del teorema di Bayes, e così'... l'ho inventato. Ho messo in Area la soluzione con tutto il ragionamento. Mi hanno detto che avevo reinventato un famoso teorema scrivendone un'ottima dimostrazione, ma di non esserne troppo fiero: Bayes l'aveva scoperto verso la metà' del'700, quando il calcolo delle prob. nemmeno esisteva (infatti la sua esposizione era un casino ed ebbe scarsa diffusione - il teorema venne riscoperto da Laplace

Dani

[Gianfranco]

Caro Dani, direi che c'è da essere fieri e soddisfatti di se stessi per aver reinventato un teorema come quello di Bayes e averne dato una ottima dimostrazione, anche se ciò è avvenuto qualche anno dopo! Complimenti!