Somma di potenze di cifre

[Dani Ferrari]

Sono incocciato in un problemino che mi sembra caruccio.

a) - Trovare due interi positivi consecutivi ciascuno dei quali sia uguale alla somma dei cubi delle sue cifre;
b) - Come sopra, ma quinte potenze anziché cubi;
c) - Come sopra, ma ottave potenze.

Ho provato a risolverlo senza computer. I primi due ci sono riuscito, ma il terzo è un po' troppo tosto per me. C'è qualcuno più bravo che ci riesce?

Dani

[Diego]

Risposta alla prima domanda:

370, 371

[Dani Ferrari]

Bravo Diego! Prometti bene...

Dani

[Gianfranco]

Ciao Dani, i numeri sono:
24678050
24678051

Per trovarli ho usato un misto di informatica e ragionamento.
1) la ricerca si limita ai numeri interi minori di 10^8 perché oltre quel numero non ci possono essere soluzioni;
2) il più basso dei due numeri consecutivi cercati (se esiste) deve finire per 0 perciò la ricerca si limita ai multipli di 10.
3) per il resto ho usato un programmino di ricerca.

[Dani Ferrari]

Si Gianfranco, la soluzione e' giusta. Ma come hai fatto a escludere che sia un numero di 9 cifre? Anche io ho lavorato su 8 cifre,certo la lunghezza più' probabile, ma non ero riuscito a escludere 9. Sulle 8 cifre, avevo provato a fare un passetto in più'. Se c'è' un 5 e uno solo, e la finale nota come tu hai detto, le sei cifre restanti devono essere 4 pari , un dispari e uno 0; oppure due pari, tre dispari e uno 0; o anche 5 dispari e uno 0. Restano ancora troppe combinazioni per testarle a mano (396, se non vado errato), non riuscendo a ridurle non ho studiato il caso con zero o due 5. Speravo che qualcuno avesse altre idee per potare l'albero...

Dani

[Gianfranco]

Ok, Dani, hai ragione, per limitarmi a 8 cifre sono andato troppo all'ingrosso.
In pratica l'equazione da risolvere è questa:
$\large x \cdot 9^8=10^x$

$\large 43046721 \cdot x={10}^{x}$

Approssimando (per difetto) all'intero, si ha x=8.

Ma a essere più precisi (con Maxima):
x = 8,566756498188038

Perciò il limite superiore è:
10^8,5667564981880... = 368.770.777