Per il varo del nuovo forum

[apritisesamo]

Bene, bene.......sono approdato al cantiere.

Grazie dunque a Gianfranco e Pietro il Grande, auguri e........lanciamo questa bottiglia per il varo!

Per il momento parto col vecchio sistema.....poi imparerò strada facendo.

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Dimostrare che se m, n, r sono interi positivi non nulli e se:

1 + m + n*sqr(3) = [2 + sqr(3)]^(2r-1)

allora m è un quadrato perfetto.

Ciao.......iiiiiaaaaaooooooooooooohhh !!!!!!!

[Admin]

Solo per mostrarvi l'impatto grafico, usando Tex viene così:
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Dimostrare che se m, n, r sono interi positivi non nulli e se:

$1+m+n\cdot\sqr{3} = [2+\sqr{3}]^{2r-1}$

allora m è un quadrato perfetto.
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il codice usato in questo caso è:

Codice: Seleziona tutto

[tex]1+m+n\cdot\sqr{3} = [2+\sqr{3}]^{2r-1}[/tex]

E' molto semplice.
Mi raccomando, utilizzatelo.
Una volta scritte due o tre equazioni, tutto diventa più facile.
Potete premere sul link "Promemoria dei simboli", sotto la form del messaggio per visualizzare i principali simboli utilizzabili.

[Admin]

Forse c'è qualche errore nella tua espressione o nella formulazione del quesito
Mi sembra che m sia quadrato perfetto solo per pochi valori di n e r.

Già se provi con r=1 e n=2, viene $m=\displaystyle 1-\sqr{3}$ che non è un quadrato perfetto.

[Ospite]

Ciao,
sto provando a risolvere il quesito.
Per me non ci sono errori nella formulazione del quesito.
Apritisesamo aveva specificato che anche m deve essere intero positivo non nullo.

[Admin]

OK;
pardon;

[Tino]

Sono giunto alla conclusione che per ogni r fissato, la scelta di m è forzata e m vale:

$m(r)=\frac{1}{2}((7+4\sqr{3})^{r-1}(\sqr{3}+2)-(7-4\sqr{3})^{r-1}(\sqr{3}-2))-1$

Il computer mi dice che i primi 10 termini di questa successione sono:

$(1,25,361,5041,70225,978121,13623481,189750625, 2642885281, 36810643321)$

E le loro radici quadrate sono:

$(1,5, 19, 71, 265, 989, 3691, 13775, 51409, 191861)$

Quindi lo trovo ragionevole. Il problema è cavare qualche conclusione da m(r).

Il valore di m+1 si può vedere come (fissato r) la prima componente del vettore risultante dal prodotto tra la matrice $\begin{pmatrix}7&12\\4&7\end{pmatrix}^{r-1}$ e il vettore $\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$.

E quindi, per ora ancora niente!

Ciao

[Alex]

Ho provato a studiare n(r) e m(r), ed ho notato che valgono le seguenti regole:
n(1)=1
m(1)=1*1=1²=1

n(2)=(4*1-0)²-1² = 4²-1²=15
m(2)=(4+1)*(4+1) = (4+1)²=5*5=25

n(3)= (4*4-1)²-4² = 15²-4²=209
m(3)=(15+4)*(15+4) = (15+4)²=19*19=361

n(4)= (4*15-4)²-15² = 56²-15²=2911
m(4)=(56+15)*(56+15) = (56+15)²=71*71=5041

n(5)= (4*56-15)²-56² = 209²-56²=40545
m(5)=(209+56)*(209+56) = (209+56)²=265*265=70225

n(6)= (4*209-56)²-209² = 780²-209²=564719
m(6)=(780+209)*(780+209) = (780+209)²=989*989=978121

…
…

(se r,n,m sono numeri interi positivi)