Numeri complessi

[ronfo]

Ogni tanto vado a ravanare tra le scartofie che ho in soffitta e ,come al solito , ficcando il naso nei libri di matematica , riesco puntualmente a farmi venire dei dubbi .
Come premessa mi scuso anticipatamente per la mia ignoranza in materia.
In questo caso si tratta dei numeri complessi ; il quesito è molto semplice
" Esiste la relazione di ordine nei numeri complessi?"
Posso cioè confrontarli ?
In parole più semplici nei numeri reali posso sempre satbilire se il primo numero e maggiore, minore o uguale al secondo,
Nei numeri complessi posso farlo ? Se si con quale criterio?
Ringrazio Tutti anticipatamente .
CIAO!!!!!!!!!

[antonio]

No, nel campo dei numeri complessi non esiste relazione d'ordine. E' una delle prime cose che si puntualizzano quando si introduce il campo complesso. A riprova di ciò, considera che i numeri complessi possono essere rappresentati geometricamente su un piano tipo cartesiano, detto di Gauss (in cui l'asse delle ascisse è detto asse reale e l'asse delle ordinate è detto asse dell'immaginario) e nel piano non è possibile dire se un punto viene prima di un altro, a differenza di quanto accade invece sulla retta.

[infinito]

Volendo essere “pignoli” si potrebbe dire che esistono infinite relazion id'ordine sui complessi, ma nessuna che abbia le caratteristiche che noi vogliamo, cioè


che sia una relazione d'ordine totale, e

tale che, per ogni a, b, c, d complessi :

a>b ^ c>d → a+c>b+d

a>b ^ c>0 → a·c>b·c




Invece una relazione d'ordine abbastanza nota è quella lessicografica:
(a, b) < (c, d)
se e solo se
a<c oppure (a=c ^ b<d)

Questa è totale e rispetta la prima, ma non la seconda richiesta.



(Per la mai scaresa memoria non sono sicuro delle due richieste, ma poc'anzi, mentre lavoravo, mi sono fatto la dimostrazione a mente …
“l'ho dimostrato”, ma visto il modo e le mie distazioni (in esperanto viene bene dire “mian distremecon” cioè “la mia inclinazione alla distrazione”), non garantisco del tutto.

[Pasquale]

Direi che con qualche convenzione potremmo azzardare un ordine dei complessi.
Per esempio, sul piano dei numeri complessi, si potrebbe fare riferimento alla grandezza della diagonale passante per il centro, una volta definiti anche i segmenti unitari sugli assi.

[franco]

Direi che con qualche convenzione potremmo azzardare un ordine dei complessi.
Per esempio, sul piano dei numeri complessi, si potrebbe fare riferimento alla grandezza della diagonale passante per il centro, una volta definiti anche i segmenti unitari sugli assi.

Non sono sicuro di aver capito cosa intendi.

se
a = 2 + 3i
b = 3 + 2i
c = 3 - 2i

in che ordine sono a, b e c ?

ciao

[Pasquale]

Esatto, hai capito bene: nei tre casi citati, intenderei che $a=b=c=\sqr{13}$

[infinito]

Ma ....,
ma ....,
.... allora "se vale", suggerisco un ordine ancora più semplice:

«Per ogni coppia (a, b) di numeri complessi si definisce "a=b"».

[Pasquale]

Ciao Inf !
Forse non c'è bisogno di dare un ordine troppo semplice ad un numero che in fondo è complesso, lasciando come suggerito l'ordine complesso, derivato da una rappresentazione geometrica di un'entità derivata dal numero complesso: così resta la complessità iniziale, ma scompare il complesso d'impotenza dell'impossibilità di dare un ordine ai complessi, semplice o complesso che sia.

[Daniela]

Quella definita da te Pasquale non e' una relazione d'ordine in senso stretto, cioe' non e' una relazione tale che se a e' diverso da b vale a>b oppure a<b oltre ad essere compatibile con le strutture di campo commutativo (o corpo, per chi parla correttamente italiano e non si adegua al malcostume dell'inglese tradotto ) quelle condizioni che ha scritto infinito. Hai di fatto riproposto la struttura di ordinamento dei reali per la coordinata "rho" del campo complesso - lasciando perdere la coordinata angolare - con 1, -1, i, e -i che sono non confrontabili oppure che hanno la stessa pseudodistanza pur essendo distinti. D'altra parte e' giusto cosi' perche un corpo ordinato completo non banale e' isomorfo ai reali. Ciao buon weekend. Daniela