Aritmetica elementare

[giobimbo]

Il numero 22 ha 4 divisori: 1, 2, 11 e 22; anche 15 ha 4 divisori ma il più piccolo numero con quattro divisori è 6. Trovare il più piccolo numero che abbia 20 divisori.

Questo problema non è roba mia, è di A. Beiler; mi ha colpito perché nei testi di teoria dei numeri di solito viene spiegato come calcolare quanti divisori possiede un certo numero, ma non il procedimento inverso. Mi sembra una buona occasione per un ripasso dei fondamentali.

[panurgo]

a naso, $2^4 \/ \times \/ 3^3 \/ = \/ 432$: infatti ci sono $4$ potenze di 2 e $3$ potenze di 3, i loro $4 \/ \times \/ 3 \/ = \/ 12$ prodotti e $1$, totale $20$ divisori

[giobimbo]

Un buon tentativo. Per calcolare velocemente quanti divisori ha un numero si aggiunge uno a ogni esponente dei suoi fattori primi e si moltiplicano questi nuovi termini tra loro; l'esponente del fattore 2 è 4, l'esponente del fattore 3 è 3, quindi d(432) = (4+1) * (3+1) = 20, dove d(n) indica il numero di divisori.

Però c'è un numero n ancora più piccolo con d(n) = 20.

[Sancho Panza]

240=3*5*16

[panurgo]

240=3*5*16

Mannaggia! M'hai fregato sul tempo...

Un buon tentativo

I divisori di $20$ sono $1 \, 2 \, 4 \, 5 \, 20$ per cui il più piccolo numero con $20 \/ = \/ \left (4 \/ + \/ 1\right ) \left ( 1 \/ + \/ 1 \right ) \left ( 1 \/ + \/ 1 \right )$ divisori è $2^{\script 4} \/ \times \/ 3 \/ \times \/ 5 \/ = \/ 240$

[giobimbo]

Panurgo aveva ragionato correttamente per quanto posso immaginare, il suo tentativo era davvero buono, l'errore (sottile) consisteva nella scomposizione 20=5*4 invece di 20=5*2*2.