I sette nani imparano la geometria

[franco]

Ho scovato sulla rete un simpatico problema (per lo meno, è simpatica la sua formulazione).

1. Eolo, Cucciolo e Gongolo iniziano ad imparare sotto la guida di Dotto.
Eolo è posizionato sul vertice superiore di un triangolo isoscele i cui altri vertici solo occupati da Gongolo e Cucciolo.
Dotto si posiziona in un punto del segmento che congiunge Eolo e Gongolo.
Eolo vede Gongolo e Cucciolo sotto un angolo di 20° mentre Dotto li vede sotto un angolo di 30°.
La distanza fra Gongolo e Cucciolo è di 20 metri.
Quanto dista Dotto da Eolo?


2. Mammolo, Brontolo e Pisolo iniziano ad imparare sotto la guida di Dotto.
Mammolo, Brontolo e Pisolo si posizionano sui vertici di un triangolo all'interno del quale sta Dotto.
Mammolo vede Brontolo e Dotto sotto un angolo di 10° e vede Pisolo e Dotto sotto un angolo di 40°.
Brontolo e Pisolo vedono Mammolo e Dotto rispettivamente sotto un angolo di 20° e di 30°.
La distanza che separa Mammolo e Brontolo è di 10 metri.
Quanto dista Pisolo da Brontolo?


3. Eolo, Brontolo e Pisolo hanno bisogno di un'altra lezione
Eolo, Brontolo e Pisolo si posizionano sui vertici di un triangolo.
Brontolo è a 10 metri da Eolo e a 15 metri da Pisolo.
L'angolo sul vertice di Brontolo è doppio di quello del vertice di Pisolo.
Dotto si mette all'interno del triangolo formato dai tre nani a distanza uguale da Pisolo e Brontolo ed in maniera tale per cui Eolo veda Brontolo e Dotto sotto un angolo doppio rispetto a quello sotto il quale vede Dotto e Pisolo.
Che distanza separa Dotto da Eolo?


4. Dotto fa partecipare tutti i nani
Eolo, Pisolo e Brontolo si posizionano ai vertici di un triangolo equilatero.
Gongolo e Mammolo si posizionano ad eguale distanza da Eolo, il primo fra Eolo e Pisolo, il secondo fra Eolo e Brontolo.
Cucciolo si piazza a metà del segmento che congiunge Gongolo e Brontolo.
Infine Dotto si posiziona ad uguale distanza da Eolo, Gongolo e Mammolo.
La distanza che separa Brontolo e Dotto è di 20 metri.
Quanto distano Dotto e Cucciolo?



N.B. I nani sono refrattari alla trigonometria!

ciao e buone vacanze.

[panurgo]

Sono finalmente riuscito a venire a capo del primo problema (metto i disegni in orizzontale per ragioni di spazio)



L'angolo $\text {ADC}$ è supplementare di 30° quindi l'angolo $\text {ACD}$ è di 10°



Tracciando la retta per $\text {D}$ inclinata di 10° rispetto al segmento $\text {CD}$ si trova il punto $\text {E}$; l'angolo $\text {ADE}$ è supplementare di 40° quindi l'angolo $\text {AED}$ è di 20° e il triangolo $\text {ADE}$ è isoscele: il triangolo $\text {CDE}$ è isoscele per costruzione per cui $\text {CE} \/ = \/ \text {DE} \/ = \/ \text {AD} \/ = \/ x$



Tracciando ora la bisettrice dell'angolo $\text {ACB}$ troviamo il punto $\text {F}$: poiché l'angolo staccato dalla bisettrice sul segmento $\text {CD}$ è uguale all'angolo $\text {BDC}$, anche il triangolo $\text {CDF}$ è isoscele



I triangoli $\text {CDE}$ e $\text {CDF}$ hanno la base comune per cui la retta $\text {EF}$, bisettrice dei due angoli al vertice, è perpendicolare al segmento $\text {CD}$ e gli angoli che insistono su $\text {F}$ sono di 60°



Ponendo ora attenzione ai triangoli $\text {BCF}$ e $\text {CEF}$ osserviamo che hanno un lato comune e gli angoli adiacenti uguali: essi sono congruenti per ASA quindi $x \/ = \/ a$

[Pasquale]

2)

Direi che se $\frac{10}{\sin{150}}= \frac{x}{\sin{100}}$, allora x=19,696155...

[panurgo]

2)

Direi che se $\frac{10}{\sin{150}}= \frac{x}{\sin{100}}$, allora x=19,696155...

Devo ancora trovare una dimostrazione ma il triangolo costruito con gli angoli indicati risulta essere isoscele con $x \/ = \/ 10 \/ \text m$

[Pasquale]

Si Pan, in effetti la mia eguaglianza non è giustificata, perché non applicata nell'ambito di uno stesso triangolo (piccola cappella): grazie per il gentile rilievo.

[Pasquale]

Torniamo al 2) ed al "calcolo" di x:

Nella figura considero:
(ridurre la finestra della figura per piazzarla in un angolo sulla destra)

Pisolo=P
Dotto=D
Mammolo=M
Brontolo=B

Gli angoli:

MDB=150
MDP=110
BDP=100
DPB= v
DBP=80-v

Nel triangolo BDM:

BD:sin10=BM:sin150
BD:sin10=10:sin150
$BD=10\frac{sin10}{sin(180-30)}=20sin10$

MD:sin20=10:sin150
$MD=10\frac{sin20}{sin30}=20sin20=20sin(10+10)=40sin10cos10$

Nel triangolo MDP:

PD:sin40=MD:sin30
$PD=40sin10cos10\frac{sin40}{sin30}=80sin10cos10sin(30+10)=40sin10cos10(cos10+sqrt{3}sin10)$

Nel triangolo BDP:

$\{x:sin100=BD:sin(v)\\x:sin100=PD:sin(80-v)$

$\frac{BD}{sin(v)}=\frac{PD}{sin(80-v)}$

$\frac{20sin10}{sin(v)}=\frac{40sin10cos10(cos10+sqrt{3}sin10)}{sin80cos(v)-sin(v) cos80}$

$\frac{1}{sin(v)}=\frac{2cos^2{10}+2\sqrt{3}sin10cos10}{sin(90-10)cos(v)-sin(v)cos(90-10)}$

ponendo:

sin10=a
cos10=b

$\frac{1}{sin(v)}=\frac{2b^2+2sqrt{3}ab}{bcos(v)-asin(v)}$

sviluppando:

$v=arctg\frac{b}{2b^2+2sqrt{3}ab+a}=20$

per cui, come diceva Panurgo:

x = 10

(N.B.: non sono uno dei nani di Biancaneve)

[Br1]

Ciao a Guido e Pasquale, ciao a tutti

Mi sono chiesto se il primo problema
potesse essere risolto in un altro modo,
sempre senza trigonometria (quando si
è refrattari, ahimè, si è refrattari!), e
così nell'ora di pranzo ho disegnato questa
gif animata, fortemente influenzato
dall'amica Ivana
Naturalmente è una cosina molto molto
"casalinga", niente a che fare né con
le belle immagini di Guido, né con le
splendide animazioni di Ivana!
Ho preso da Wikipedia la figura di un
poligono regolare con diciotto lati (visto
che quel triangolo isoscele non è altro che
un suo "spicchio") e ho creato una decina
di immagini in Excel stile copiaincolla
Questo è quello che mi è saltato fuori (i
valori indicati corrispondono ovviamente
agli angoli):



L'ultima immagine, giusto per fissarla meglio,
è questa.
(L'inclinazione del segmento verde è stata
scelta, proprio per poter confrontare i triangoli
simili messi così in evidenza.)

Se non ho preso fischi per cannonate (sono
un po' giù di allenamento), quello che si vede
permette di rispondere al problema

Appena ho un po' di tempo provo a passare
agli altri...

[panurgo]

Per il terzo quesito, sempre per costruzione



il triangolo Eolo-Dotto-Brontolo è isoscele e l'angolo tra le retta Eolo-Dotto e la retta Pisolo-Brontolo è di 60° indipendentemente dal valore di $\alpha$ (al variare di $\alpha$ cambia la lunghezza di $b$ e $d$)

Sono in cerca della dimostrazione (non trigonometrica, sono Biancaneve )

[Ivana]

Ciao a Guido e Pasquale, ciao a tutti

Mi sono chiesto se il primo problema
potesse essere risolto in un altro modo,
sempre senza trigonometria (quando si
è refrattari, ahimè, si è refrattari!), e
così nell'ora di pranzo ho disegnato questa
gif animata, fortemente influenzato
dall'amica Ivana
Naturalmente è una cosina molto molto
"casalinga", niente a che fare né con
le belle immagini di Guido, né con le
splendide animazioni di Ivana!
Ho preso da Wikipedia la figura di un
poligono regolare con diciotto lati (visto
che quel triangolo isoscele non è altro che
un suo "spicchio") e ho creato una decina
di immagini in Excel stile copiaincolla
Questo è quello che mi è saltato fuori (i
valori indicati corrispondono ovviamente
agli angoli):

[...]

Bruno, la tua animazione è ottima!!! Bravissimo!
Se non ricordo male, anche Quelo (Sergio) si è cimentato nelle animazioni con risultati altrettanto ottimi!
Si sa, i/le "basecinquini/e", sono tutti/tutte...formidabili!

[karl]

Se interessa ,ecco una possibile risoluzione sintetica del problema 2 ( solo parzialmente mia !)
Sia O il circocentro del triangolo BPC ,E il simmetrico di B rispetto ad AO ed H l'intersezione tra AO e BE.
Applicando ripetutamente il teorema dell'angolo al centro e alla circonferenza,dalla figura si ricava che:
BOP=2* PCB=2*20°=40°
Pertanto risulta:
(1) OBE=90°-40°=50°
Per la simmetria è pure: POE=40°,OEH=50°
POC=2*PBC=2*10°=20° e dunque COE=40°-20°=20°
CBE=1/2*COE=1/2*20°=10°,ABE=40°+10°+10°=60°
Il triangolo isoscele ABE,avendo un angolo di 60°, è equilatero e dunque:
(2) AB=BE
Analogamente ,il triangolo isoscele BOC ,avendo l'angolo CBO=50°+10°=60°,è equilatero
e quindi :
(3) BC=BO
Da (1),(2) e (3) discende che i triangoli ABC e BOE sono congruenti e pertanto è :
AC=BC=10m
karl

[panurgo]

$\left . 4 \right )$ Quando si ha a che fare con i triangoli equilateri è tutto più facile:



con riferimento alla figura abbiamo

$\frac x y \/ = \/ \frac {\sqrt {3}} 3$

e

$z \/ = \/ \frac {\sqrt{3}} 2 \/ l \/ - \/ y$

La distanza tra Dotto e Brontolo è

$\overline{\text BD} \/ = \/ \sqrt {\overline{\text DD'''}^{\script 2} + \overline{\text D'''B}^{\script 2}} \/ = \/ \sqrt {\left ( \frac z 3 + y \right )^{\script 2} + \left ( \frac l 2 \right )^{\script 2} }$

mentre la distanza tra Dotto e Cucciolo è

$\overline{\text CD} \/ = \/ \sqrt {\overline{\text DD''}^{\script 2} + \overline{\text D''C}^{\script 2}} \/ = \/ \sqrt {\left ( \frac z 3 + \frac y 2 \right )^{\script 2} + \left ( \frac x 2 \right )^{\script 2} }$

( $\overline{\text D''C} \/ = \/ x/2$ perché Cucciolo si trova sul punto medio del segmento Gongolo-Brontolo e i triangoli ${\text CD''D'''}$ e ${\text GG'P}$ sono simili)

Il rapporto tra le due distanze vale

$r \/ = \/ \frac {\overline{\text CD}} {\overline{\text BD}} \/ = \/ \frac {\sqrt {\left ( \frac z 3 + \frac y 2 \right )^{\script 2} + \left ( \frac x 2 \right )^{\script 2}}} {\sqrt {\left ( \frac z 3 + y \right )^{\script 2} + \left ( \frac l 2 \right )^{\script 2}}} \/ = \/ \sqrt {\frac {\left ( 2 z + 3 y \right )^{\script 2} + 9 x^{\script 2}} {\left ( 2 z + 6 y \right )^{\script 2} + 9 l^{\script 2}}}$

e, tenuto conto che $9x^{\script 2} \/ = \/ 3y^{\script 2}$ e $2z \/ = \/ \sqrt{3} l \/ - \/ 2y$, sostituendo otteniamo

$r \/ = \/ \sqrt {\frac {\left ( \sqrt{3} l + y \right )^{\script 2} + 3 y^{\script 2}} {\left ( \sqrt{3} l + 4 y \right )^{\script 2} + 9 l^{\script 2}}} \/ = \/ \sqrt {\frac {3 l^{\script 2} + 2 sqrt{3} l y + 4 y^{\script 2}} { 12 l^{\script 2} + 8 \sqrt{3} l y + 16 y^{\script 2}}} \/ = \/ \frac 1 2$

indipendentemente dal valore di $y$

[franco]

Ciao a tutti, spero abbiate passato tutti delle belle feste. Io ho staccato un po' sia dal lavoro che dalle ricreazioni.
Torno però con un nuovo capitolo della "saga dei sette nani":

5. I sette nani prendono gusto alla geometria
Eolo, Dotto, Pisolo, Brontolo e Gongolo si posizionano, nell'ordine, lungo una circonferenza.
Mammolo si piazza all'intersezione fra le corde EP e la DG mentre Cucciolo si mette nell'intersezione fra le corde EP e DB.
Biancaneve verifica che le distanze EM, MC e CP sono rispettivamente 40 m, 20 m e 10 m.
A questo punto, mentre Eolo, Pisolo, Brontolo e Gongolo restano fermi, Cucciolo prende il posto di Mammolo, Dotto si sposta sul cerchio per mantenere l'allineamento con Cucciolo e Brontolo e Mammolo infine si posiziona all'intersezione fra le corde EP e D'G.
Che distanza misurerà adesso Biancaneve fra Mammolo e Cucciolo?



ciao

P.S. Ai nani l'allergia alla trigonometria non è passata!

[Bruno]

Ciao, Franco, grazie per esser venuto a salutarmi
di là

Per quanto riguarda l'ultimo quiz, be'... immagino che
la soluzione sia unica, altrimenti io e Biancaneve ci
divertiremmo poco

Faccio allora il seguente disegnino per procurarmi
alcune utili simmetrie:



$\small \overline{EP}\,$ è il diametro della circonferenza, che ho
diviso in sette parti uguali.
$\small \overline{DB}\,$ è perpendicolare al diametro e quindi pure
$\small \overline{D'G}\,$, di cui devo trovare la posizione.
Considerando le similitudini fra i triangoli verdi,
posso scrivere:

$\frac{\overline{M'M}}{\overline{MC}}=\frac{\overline{MG}}{\overline{MB}}$

Inoltre posso scrivere, sempre per similitudine:

$\frac{\overline{MG}}{\overline{MB}}=\frac{\overline{EM}}{\overline{MP}}=\frac43$

e perciò:

$\overline{M'M}=\frac43\cdot \overline{MC}=\frac{80}{3}\, m$

essendo $\small \,\overline{MC}=20 \,m$.

Il tutto, è ovvio... salvo sviste, balordaggini etc.


Bruno

[franco]

...
Il tutto, è ovvio... salvo sviste, balordaggini etc.

Le balordaggini nel tuo caso sono escluse sicuramente, però stavolta ci dev'essere una svista.

Il tuo ragionamento presuppone infatti che i triangoli EMD' e PMB siano simili cosa che purtroppo non è vera (ED' e PB non sono paralleli ).

A occhio sembra, ma ho fatto la costruzione in CAD e ti posso assicurare che è così, come anche ti posso anticipare che il risultato che hai trovato si avvicina alla soluzione ma è appena troppo abbondante.

ciao

[Bruno]

Aaaargh... ho avuto un tramortimento dei neuroni

Hai ragione, Franco, c'è una svista, anzi: una svistona!
(Le cose pensate durante la pausa pranzo, certe volte, si
lasciano un po' troppo influenzare dall'appetito )

I due triangoli che indicavi, in realtà, sono proprio simili,
ma rigirati, questo spiega perché i lati punteggiati non
sono paralleli, ed è qui infatti che sono scivolato
Della loro similitudine ti puoi convincere considerando la
proprietà degli angoli alla circonferenza inscritti in uno
stesso arco.

Comunque, anziché:

$\frac{\overline{MG}}{\overline{MB}}=\frac43$

avrei dovuto scrivere:

$\small \overline{MG}\cdot \overline{MB}=40\cdot 30= 1200 \, m^2$

che è tutta un'altra cosa...

D'altra parte:

$\frac{\overline{EC}}{\overline{CB}}=\frac{\overline{DC}\[=\overline{CB}\]}{\overline{CP}} \;\to\; {\small \overline{CB}^2=600\, m^2}$

inoltre:

$\small \overline{MB}^2 =600+\overline{MC}^2=1000 \,m^2$

e dunque:

${\small \overline{M'M}}={\small \overline{MC}}\cdot\frac{\overline{MG}}{\overline{MB}}={\small 20}\cdot \frac{\overline{MG}\cdot \overline{MB}}{\overline{MB}^2}=24\,m$

Così mi sembra che torni, se poi ho sbagliato ancora... be',
buonanotte

Ciao, carissimo


Bruno