Semplice a dirsi

[Br1]

Trovare tante tante tante... ...coppie di numeri razionali
positivi $\,x,\, y\,$ con questa proprietà:

$xy+x = w^2 \\ xy+y = z^2 \\ w+z = 19\,.$

[Edmund]

La coppia più semplice di numeri razionali è:

162/19 ; 181/19

Basta così?



Nel quesito al posto del 19 potremmo mettere qualsiasi numero dispari, ad esempio: 357896565
allora la coppia di numeri razionali sarà

64044975261503048 / 357896565 ; 64044975619399613 / 357896565

Ciao da Edmund

[karl]

Una formula generale per la soluzione del sistema può essere la seguente ( non di certo la più semplice !!)
$\large \begin{cases} b=\frac{-19m^2+724m-6878}{m^2-362}\\ a=\sqrt{362(b^2+1)}-19b=\frac{723m^2-27512m+261726}{m^2-362}\\ x=a^2-1\\ y=b^2\\ z=ab\\ w=\frac{a^2-b^2-1}{19}+ab\\ \end{cases}$
Al variare del parametro m si ottengono tutte le possibili soluzioni.
Se si vogliono solamente le soluzioni razionali positive ( come richiesto da Bruno )
allora deve essere $\large -26\le m\le 64$
Per esempio posto m=20 si ha :
$\large\begin{cases} a=\frac{343}{19}\\ b=\frac{1}{19}\\ x=\frac{117288}{361}\\ y=\frac{1}{361}\\ z=\frac{343}{361}\\ w=\frac{6516}{361} \end{cases}$
Per avere la soluzione indicata da Edmund occorre prendere $\large m=\frac{181-\sqrt{3439}}{9}$ che non è facilissimo da ottenere per via diretta...
Saluti
karl