Una strana proprietà comune

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Gianfranco
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Una strana proprietà comune

Messaggio da Gianfranco » mer set 25, 2019 1:27 pm

A proposito di geometria...
Un esagono regolare ha la stessa proprietà che queste tre figure hanno in comune.
prop_comune.png
I numeri esprimono le lunghezze dei segmenti nell'unità che più vi aggrada.

Quanto è lungo il lato dell'esagono?
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: Una strana proprietà comune

Messaggio da Bruno » mer set 25, 2019 3:27 pm

Il valore dell'area coincide con quello del perimetro :D

Considerando quindi un esagono regolare, chiamato $\,l\,$ il suo lato, dobbiamo avere: $\; 6\cdot l = {\large \frac{3\cdot \sqrt{3}}{2}}\cdot l^2$.

Perciò il lato cercato vale $\;\large \frac{4\cdot \sqrt{3}}{3}$.


Intendevi questo, Gianfranco?
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
(Biagio Marin)

Gianfranco
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Re: Una strana proprietà comune

Messaggio da Gianfranco » mer set 25, 2019 3:42 pm

Proprio così!
Mi sono ispirato a un problema di James Tanton.

Ho un'altra domanda: dato un qualunque poligono (o altra figura geometrica piana), è possibile scalarla opportunamente in modo da ottenere una figura simile che abbia l'area e il perimetro espressi dallo stesso numero (in una data unità di misura)?

Formulazione alternativa: data una qualunque figura geometrica piana, è possibile trovare una unità di misura tale che l'area e il perimetro della figura siano espressi dallo stesso numero?
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: Una strana proprietà comune

Messaggio da panurgo » mer set 25, 2019 9:58 pm

Dobbiamo trovare una unità di misura tale che area e perimetro di una figura geometrica siano numericamente uguali: siano $A$, $2p$ e $u$ rispettivamente area, perimetro e unità di misura.

Deve essere

$\displaystyle \frac{A}{u^2}=\frac{2p}{u}$

cioè $u = \frac{A}{2p}$.

Per esempio, per un quadrato $A=l^2$ e $2p=4l$: posto $u = \frac{l^2}{4l} = \frac{l}4$ otteniamo

$\displaystyle l=\frac{l}{l/4} u=4\,u$

e

$\displaystyle \frac{A}{u^2}=\frac{2p}{u}=16$ :wink:
il panurgo

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