Una somma particolare

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Mammolo

Una somma particolare

Messaggio da Mammolo » gio dic 01, 2005 2:11 am

Trovare la somma di tutti gli interi positivi n per i quali n^2-19n+99 è un quadrato perfetto.

delfo52
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Messaggio da delfo52 » ven dic 02, 2005 2:32 pm

19 ?
Enrico

panurgo
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Messaggio da panurgo » ven dic 02, 2005 2:58 pm

38 ?



P.S.: ? \equiv congettura
il panurgo

Principio di Relatività: {\bb m} \not \right {\bb M} \ \Longleftrightarrow \ {\bb M} \not \right {\bb m}
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

delfo52
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Messaggio da delfo52 » ven dic 02, 2005 8:32 pm

1+9+10+18 fa 38
resta da dimostrare che la sequenza
9-11-15-21-29-39-51-65-81-99-119-...
in cui la differenza fra i termini aumenta ad ogni passo di due, non toccherà più altri quadrati
Enrico

panurgo
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Messaggio da panurgo » ven dic 02, 2005 9:15 pm

in alternativa dimostrare che le uniche soluzioni dell'equanzione diofantea

n = \frac{{99 - m^2 }}{{19 - 2m}}

sono solo 1 9 10 18
il panurgo

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Pasquale
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Messaggio da Pasquale » sab dic 03, 2005 1:09 am

Si vuole che:

n^2 - 19n + 99 = k^2

1) n =  \frac {19 \mp \sqrt{4k^2 - 35}}{2}

affinché n sia intero e positivo, è necessario che \sqrt {4k^2 - 35} sia intero e dispari, ma affinché questo sia possibile è necessario che 4k^2 - 35 almeno sia un quadrato perfetto e cioè che sia:

4k^2 - 35 = m^2

2) k = \frac{\sqrt {m^2 + 35}}{2}

affinché k sia intero positivo, è necessario che m^2 + 35 sia un quadrato perfetto e vediamo che questo è vero per:

m = 1
m = 17

e per valori di m maggiori, se ad m^2 aggiungiamo 35, non otteniamo mai un quadrato, poiché dopo i quadrati di 17 e 18, la cui differenza è 35, le differenze fra quadrati successivi sono sempre maggiori di 35.

Dunque, nella 2):

per m = 1, k = 3 e nella 1) \to n = 9; n = 10

per m = 17, k = 9 e nella 1) \to n = 1; n = 18

Conclusione, concordo circa la somma richiesta, ovvero: 9 + 10 + 1 + 18 = 38

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